1樓：匿名使用者
設ai是λ
i的特徵向量，i=1，2，...，m且i不等於j時，λi不等於λj設他專們的一個線性屬表示
k1a1+k2a2+..._+kmam=0用a左乘
a（k1a1+k2a2+..._+kmam）=a0λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0 因為aai=λiai，再乘a，多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故記11...1
λ1λ2...λm
...λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1)為b^t，顯然其行列式不為零(範德蒙德行列式）顯然有(k1a1,k2a2,...
,kmam)b=0因為b行列式不為零，故b可逆
(k1a1,k2a2,...,kmam)=0故kiai=0,i=1,2,..,m
因為ai不等於0，故ki=0,i=1,2...,m故線性無關。
2樓：匿名使用者
用反證法，假設線性相關，必然有一個向量可以用其他向量表示，可以推出矛盾，你可以試下
不同特徵值的特徵向量線性無關，怎麼證明
3樓：匿名使用者
設ai是λbaii的特徵向量（
dui=1，2，...，m），且i不等於j時，λi不等於λzhij
設他們的一個dao線性表示 k1a1+k2a2+..._+kmam=0
用a左乘得：
版 a（k1a1+k2a2+..._+kmam）權=0
因為aai=λiai，得：λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0
再乘a，多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故記11. ..1
λ1λ2...λm
...λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1) 為方陣b
x=（k1a1，k2a2，...，kmam）
bx=0
|b|為範德蒙德行列式，顯然不為零，可逆
所以x=(k1a1，k2a2，...，kmam)= o
故kiai=0（i=1,2,..,m）
因為ai不等於0，故ki=0（i=1,2,..,m），故線性無關。
不同特徵值的特徵向量線性無關，怎麼證明
4樓：琴生貝努裡
數學輔導團琴生貝努裡為你解答。
反證法。
如何證明一個矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關，是不是很麻煩過程
5樓：電燈劍客
不麻煩，直接用線性無關的定義，藉助vandermonde行列式即可
6樓：匿名使用者
用數學歸納法bai。一個特du徵值對應的特徵向量線性無關zhi。假設dao結論對k-1成立，則對k，設回p1,p2，。。。pk是對應於不同特
答徵值a1，a2，。。。，ak的特徵向量，令b1p1+...+bkpk=0，左乘a得，b1a1p1+....
+bkakpk=0，第一式乘a1與第二式相減得b2(a2-a1)p2+...+bk(ak-a1)pk=0，由歸納前提有bi(ai-a1)=0，而ai-a1不為0，故bi=0，i=2,3,...,k。
代入第一式知b1=0。於是結論成立。
為什麼不同特徵值對應的特徵向量一定線性無關
7樓：匿名使用者
這個問題你可bai以作為一道證明題來du
做：證zhi明不同特徵值對應的特dao徵向量線型無關專.設x1,x2 是a的兩個不同屬的特徵值；n1,n2分別為其對應的特徵向量.
設存在實數k1.k2 使得 k1*n1+k2*n2=0;易證不同特徵值對應的特徵向量線型無關.還可以從特徵值和特徵向量的定義式看：
an1=x1*n1;an2=x2*n2a 為矩陣； x1,x2為特徵值；n1,n2為其對應的特徵向量若n2與n1 線性相關,則n2= b*n1 帶入an2=x2*n2得到：b*an1=b*x1*n1 ;也即an1=x1*n1得到特徵值x2的存在是沒有意義的,或者說是和x1相等的.與已知他們是兩個不同的特徵值是矛盾的.
所以：n2與n1 線性相關的假設是錯誤的
一個n階方陣的不同特徵值對應的特徵向量線性無關，錯的，如何證明？
8樓：曉曉休閒
在向量空間v的一組向量a：a1，a2，...am，如果存在不全為零的數 k1, k2, ···,km , 使
則稱向量組a是線性相關的，否則數 k1, k2, ···,km全為0時，稱它是線性無關。由此定義看出a：a1，a2，...
am是否線性相關，就看是否存在一組不全為零的數 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看
這個齊次線性方程組是否存在非零解，將其係數矩陣化為最簡形矩陣，即可求解。此外，當這個齊次線性方程組的係數矩陣是一個方陣時，這個係數矩陣存在行列式為0，即有非零解，從而a：a1，a2，...
am線性相關。
同一特徵值所指的特徵向量是否線性無關
對的。特徵向量是什麼?是滿足 i a x 0 的非零解當 給定時,i a 是一個內給定矩陣,不妨記為b,即求容 bx 0 的非零解,那就回歸到求方程組的基礎解系。若求得是bx 0 的一個基礎解系,則對應於 的特徵向量為k1 1 k2 2 km m,其中k1,k2,km是k中任意不全為零的數 書本上之...
同一特徵值對應的特徵向量線性無關嗎
同一特徵值對應的特徵向量不一定線性無關 不同特徵值對應的特徵向量線性無關。求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下 1 計算的特徵多項式 2 求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值 3 對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。需要注意的是 若是的屬於的特...
1,0, 1 0,1,0 1,0,1的特徵值與特徵向量
f 1 2 特徵值 1 0 2 1 3 2 1 0 x z 0 y 0 特徵向量取 1,0,1 2 1 z 0 x 0 特徵向量取 0,1,0 3 2 x z 0 y 0 特徵向量取 1,0,1 付費內容限時免費檢視 回答稍等 提問快快快老師快解答 回答利用特徵多項式求出特徵值為2 1 1，在帶回a...