1樓:匿名使用者
1. 球面座標, 就是會遇到積分r^5dr/(1+r^2)^3, 湊微分, 令u=x^2
2. 複變函式
2樓:星晴
第一題,利用球座標公式,代入直接解出,注意角度的取值範圍(第一卦限)。
二重積分和三重積分的區別。。求高手解答。
3樓:匿名使用者
都是遞進關係,從一重積分開始,只說幾何意義吧。62616964757a686964616fe58685e5aeb931333332613763
一重積分(定積分):只有一個自變數y = f(x)
當被積函式為1時,就是直線的長度(自由度較大)
∫(a→b) dx = l(直線長度)
被積函式不為1時,就是圖形的面積(規則)
∫(a→b) f(x) dx = a(平面面積)
另外,定積分也可以求規則的旋轉體體積,分別是
盤旋法(disc method):v = π∫(a→b) f2(x) dx
圓殼法(shell method):v = 2π∫(a→b) xf(x) dx
計算方法有換元積分法,極座標法等,定積分接觸得多,不詳說了
∫(α→β) (1/2)[a(θ)]2 dθ = a(極座標下的平面面積)
二重積分:有兩個自變數z = f(x,y)
當被積函式為1時,就是面積(自由度較大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面積)
當被積函式不為1時,就是圖形的體積(規則)、和旋轉體體積
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋轉體體積)
計算方法有直角座標法、極座標法、雅可比換元法等
極座標變換:{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍:0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ
三重積分:有三個自變數u = f(x,y,z)
被積函式為1時,就是體積、旋轉體體積(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = v(旋轉體體積)
當被積函式不為1時,就沒有幾何意義了,有物理意義等
計算方法有直角座標法、柱座標切片法、柱座標投影法、球面座標法、雅可比換元法等
極座標變化(柱座標):{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍:0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z1→z2) f(rcosθ,rsinθ,z) r dzdrdθ
極座標變化(球座標):{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大範圍:0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍:0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r2sin2φ drdφdθ
所以越上一級,能求得的空間範圍也越自由,越廣泛,但也越複雜,越棘手,而
且限制比上面兩個都少,對空間想象力提高了。
重積分能化為幾次定積分,每個定積分能控制不同的伸展方向。
又比如說,在a ≤ x ≤ b裡由f(x)和g(x)圍成的面積,其中f(x) > g(x)
用定積分求的面積公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升級的二重積分,面積公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被積函式變為1了
用不同積分層次計算由z = x2 + y2、z = a2圍成的體積?
一重積分(定積分):向zox面投影,得z = x2、令z = a2 --> x = ± a、採用圓殼法
v = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x3 dx = 2π • (1/4)[ x4 ] |(0→a) = πa4/2
二重積分:高為a、將z = x2 + y2向xoy面投影得x2 + y2 = a2
所以就是求∫∫(d) (x2 + y2) dxdy、其中d是x2 + y2 = a2
v = ∫∫(d) (x2 + y2) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r3 dr、這步你會發覺步驟跟一重定積分一樣的
= 2π • (1/4)[ r4 ] |(0→a) = πa4/2
三重積分:旋轉體體積,被積函式是1,直接求可以了
柱座標切片法:dz:x2 + y2 = z
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→a2) dz ∫∫dz dxdy
= ∫(0→a2) πz dz
= π • [ z2/2 ] |(0→a2)
= πa4/2
柱座標投影法:dxy:x2 + y2 = a2
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r2→a2) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a2 - r2) dr
= 2π • [ a2r2/2 - (1/4)r4 ] |(0→a)
= 2π • [ a4/2 - (1/4)a4 ]
= πa4/2
三重積分求體積時能用的方法較多,就是所說的高自由度。
既然都說了這麼多,再說一點吧:
如果再學下去的話,你會發現求(平面)面積、體積 比 求(曲面)面積的公式容易
學完求體積的公式,就會有求曲面的公式
就是「曲線積分」和「曲面積分」,又分「第一類」和「第二類」
當被積函式為1時,第一類曲線積分就是求弧線的長度,對比定積分只能求直線長度
∫(c) ds = l(曲線長度)
被積函式不為1時,就是求以弧線為底線的曲面的面積
∫(c) f(x,y) ds = a(曲面面積)
當被積函式為1時,第一類曲面積分就是求曲面的面積,對比二重積分只能求平面面積
∫∫(σ) ds = a(曲面面積)、自由度比第一類曲線積分大
∫∫(σ) f(x,y,z) ds,物理應用、例如曲面的質量、重心、轉動慣量、流速場流過曲面的流量等
而第二類曲線積分/第二類曲面積分以物理應用為主要,而且是有"方向性"的,涉及向量範圍了。
這兩個比較複雜,概念又深了一層,等你學到再理解吧。
4樓:匿名使用者
你發揮一下空間想象力,二重積分積得是平面,相當於一個鐵片的各專處密度不同,屬求總重量,三重積分積得是立體物體,相當於一個鐵球各處的密度不同,求總重量。
在你這個題裡,用二重積分就相當於是把空間物體壓縮到xoy平面上了,這樣各處的密度就不同了,積分要算出總重量。
而三重積分計算的話,由於只是算體積而已,所以相當於各處的密度都是1,三重積分的被積函式是1,所以使用先2後1或者先1後2來解的話, 你就覺得貌似跟二重積分是一樣的。事實上兩者意義是不同的
5樓:計睿閃以筠
去高中課本再精修一下,親上面都有。
一道考研數學題關於三重積分的麻煩高手了
這個是第copy一型曲面積分,將其轉化為二bai重積分,不需要三重積du分。你一看i這麼zhi複雜就知道這dao道題是湊出來的,複雜的部分一定可以消去。方法就是一投二代三計算,在空間座標系中,將橢圓投到xoy面這裡涉及曲線投影的求法問題就是消z,然後問題就變成二重積分了,代入橢圓方程並計算ds可以消...
求一道微積分題的解答
dx x 2 x 2 a 2 dx x 3 1 a x 2 1 2 d 1 x 2 1 1 a x 2 1 2a 2 d a x 2 1 1 a x 2 1 2a 2 d a x 2 1 1 a x 2 1 a 2 a x 2 1 1 a 2 a 2 x 2 x c令 x atant a x cot...
一道三重積分的問題用柱面座標法怎麼求呢
我們在做重積分的題時,是根據積分割槽域來選取在哪種座標系下計算 不內 同的座標系也容可以說是不同變數替換 這個題用柱座標來進行計算顯然就麻煩了,甚至還可能無法求解。改用球座標系就尤為簡單.這也是不同座標系下不同重積分計算中的侷限性.不喜歡這種方法,你還是得用他,因為某一種方法並不是萬能的.關於用柱面...