1樓：尹憐夔文
"定義與定義表示式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。）
則稱y為x的二次函式。
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數，y是x的函式
二次函式的三種表示式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2+k
[拋物線的頂點p（h，k）]
對於二次函式y=ax^2+bx+c
其頂點座標為
(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交點式：y=a(x-x₁)(x-x
₂)[僅限於與x軸有交點a（x₁
，0）和
b（x₂，0）的拋物線]
其中x1，2=
-b±√b^2－4ac
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:
______
h=-b/2a
k=(4ac-b^2)/4a
x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象，
可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x
=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有1個頂點p，座標為p
(-b/2a
，(4ac-b^2)/4a
)當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ=
b^2-4ac=0時，p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸木有交點。x的取值是虛數（x=
-b±√b^2－4ac
的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函式在x=
-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在上是減函式，在上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
二次函式與一元二次方程
特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1．二次函式y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2
+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不一樣，它們的頂點座標及對稱軸如下表：
解析式y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點座標
(0，0)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)對稱
軸x=0
x=hx=h
x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2
+k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線
y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x
≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x
≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x
≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x
≥-b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點a(x₁，0)和b(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離ab=|x₂-x₁|
另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－a
|（a為其中一點）
當△=0．圖象與x軸僅有1個交點；
當△<0．圖象與x軸木有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：假如a>0(a<0)，則當x=
-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值．
6．用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的2個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函式知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
中考典例
1．(北京西城區)拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是(
)(a)直線x=1
(b)直線x=-1
(c)直線x=2
(d)直線x=-2
考點：二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸．
評析：由於拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸方程是：y=-，將已知拋物線中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故選項a正確．
另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x-h)2+k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=(x-1)2，因此對稱軸x=1，應選a．
2．(北京東城區)有1個二次函式的圖象，三位學生分別說出了它的有些特點：
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸2個交點的橫座標都是整數；
丙：與y軸交點的縱座標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．
請你寫出滿足上述全部特點的1個二次函式解析式：
．考點：二次函式y=ax2+bx+c的求法
評析：設所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，且設x1＜x2，則其圖象與x軸兩交點分別是a(x1，0)，b(x2，0)，與y軸交點座標是(0，ax1x2).
∵拋物線對稱軸是直線x=4，
∴x2-4=4
-x1即：x1+
x2=8
①∵s△abc=3，∴(x2-
x1)·|a
x1x2|=
3，即：x2-
x1=②
①②兩式相加減，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整數，ax1x2也是整數，∴ax1x2是3的約數，共可取值為：±1，±3。
當ax1x2=±1時，x2=7，x1=1，a=±
當ax1x2=±3時，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式為：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1
或y=-x2+x-1
或y=x2-x+3
或y=-x2+x-3
說明：本題中，只需要填出1個解析式即可，也可用猜測驗證法。例如：
猜測與x軸交點為a(5，0)，b(3，0)。再由題設條件求出a，看c是不是整數。若是，則猜測得以驗證，填上即可。
5．(河北省)如圖13-28所示，二次函式y=x2-4x+3的圖象交x軸於a、b兩點，交y軸於點c，則△abc的面積為(
)a、6
b、4c、3
d、1考點：二次函式y=ax2+bx+c的圖象及性質的運用。
評析：由函式圖象可知c點座標為(0，3)，再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3因此a、b兩點之間的距離為2。那麼△abc的面積為3，故應選c。
圖13-28
6．(安徽省)心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函式關係：y=-0.
1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越強。
(1)x在啥範圍內，學生的接受能力逐步增強？x在啥範圍內，學生的接受能力逐步降低？
(2)第10分時，學生的接受能力是啥？
(3)第幾分時，學生的接受能力最強？
考點：二次函式y=ax2+bx+c的性質。
評析：將拋物線y=-0.1x2+2.
6x+43變為頂點式為：y=-0.1(x-13)2+59.
9，根據拋物線的性質可知開口向下，當x≤13時，y隨x的增大而增大，當x>13時，y隨x的增大而減小。而該函式自變數的範圍為：0≤x≤30，因此2個範圍應為0≤x≤13；13≤x≤30。
將x=10代入，求函式值即可。由頂點解析式可知在第13分鐘時接受能力為最強。解題過程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
因此，當0≤x≤13時，學生的接受能力逐步增強。
當13＜x≤30時，學生的接受能力逐步下降。
(2)當x=10時，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分時，學生的接受能力為59。
(3)x=13時，y取得最大值，
因此，在第13分時，學生的接受能力最強。
9．(河北省)某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，1個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情形，請解答以下問題：
(1)當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
(2)設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函式關係式(不必寫出x的取值範圍)；
(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情形下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？
解：(1)當銷售單價定為每千克55元時，月銷售量為：500–(55–50)×10=450(千克)，因此月銷售利潤為
:(55–40)×450=6750(元)．
(2)當銷售單價定為每千克x元時，月銷售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤是:(x–40)元，因此月銷售利潤為：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元)，
∴y與x的函式解析式為：y
=–10x2+1400x–40000．
(3)要使月銷售利潤達到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
當銷售單價定為每千克60元時，月銷售量為：500–(60–50)×10=400(千克)，月銷售成本為：
40×400=16000(元)；
當銷售單價定為每千克80元時，月銷售量為：500–(80–50)×10=200(千克)，月銷售單價成本為：
40×200=8000(元)；
由於8000＜10000＜16000，而月銷售成本不能超過10000元，因此銷售單價應定為每千克80元．"
二次函式yaxh2k的對稱軸是頂點坐
二次函式的解析式為y a x h 2 k,其對稱軸是x h,頂點座標是 h,k 故答案為 x h,h,k 1.y ax2 對稱軸 y軸 頂點 0,0 2.y ax2 k 對稱軸 y軸 頂點 0,k 3.y a x h 2 k 對稱軸 x h 頂點 h,k 直線x h h,0 解 二次函式y a x ...
寫出下列二次函式圖象的頂點座標和對稱軸y 1 x x
解 y 1 2x 3 2x 1 1 2 x 3x 1 1 2 x 3x 3 2 1 1 2 3 2 1 2 x 3 2 17 8 頂點座標為 3 2，17 8 對稱軸為x 3 2解 y 1 x x 3 x 3 x 3x x 2x 3 x 2x 1 4 x 1 4 頂點座標為 1,4 對稱軸為x 1 ...
二次函式的對稱軸方程是什麼意思
二次函式的圖象bai是關於某條直du線對稱的。設二zhi 次函式dao的解析式是專y ax 2 bx c 則二次函式的屬對稱軸為直線x b 2a,頂點橫座標為 b 2a,頂點縱座標為 4ac b 2 4a1.二次函式的定義與定義表示式 一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係 y ax 2 bx ...