如何求值域

2021-03-07 05:50:09 字數 4919 閱讀 2551

1樓:黃半仙少爺

一.觀察法

通過對函式定義域、性質的觀察,結合函式的解析式,求得函式的值域。

例1:求函式y=3+√(2-3x) 的值域。

點撥:根據算術平方根的性質,先求出√(2-3x) 的值域。

解:由算術平方根的性質,知√(2-3x)≥0,

故3+√(2-3x)≥3。

∴函式的值域為 .

點評:算術平方根具有雙重非負性,即:(1)被開方數的非負性,(2)值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解,這種方法對於一類函式的值域的求法,簡捷明瞭,不失為一種巧法。

練習:求函式y=[x](0≤x≤5.y,x∈n)的值域。

(答案:值域為:{0,1,2,3,4,5})

二.反函式法

當函式的反函式存在時,則其反函式的定義域就是原函式的值域。

例2:求函式y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥:先求出原函式的反函式,再求出其定義域。

解:顯然函式y=(x+1)/(x+2)的反函式為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為{y∣y≠1,y∈r}。

點評:利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。這種方法體現逆向思維的思想,是數學解題的重要方法之一。

練習:求函式y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。

(答案:函式的值域為{y∣y<-1或y>1})

三.配方法

當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域

例3:求函式y=√(-x2+x+2)的值域。

點撥:將被開方數配方成完全平方數,利用二次函式的最值求。

解:由-x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[-1,2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2]

點評:求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習:求函式y=2x-5+√15-4x的值域.

(答案:值域為)

四.判別式法

若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域,但只適用於定義域為r或r除去一兩個點。

例4:求函式y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點撥:將原函式轉化為自變數的二次方程,應用二次方程根的判別式,從而確定出原函式的值域。

解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

當y≠2時,由δ=(y-2)2-4(y-2)+(y-3)≥0,解得:2<y≤10/3

當y=2時,方程(*)無解。∴函式的值域為2<y≤10/3。

點評:把函式關係化為二次方程f(x,y)=0,由於方程有實數解,故其判別式為非負數,可求得函式的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。

練習:求函式y=1/(2x2-3x+1)的值域。

(答案:值域為y≤-8或y>0)。

五.最值法

對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函式的最值,可得到函式y的值域。

例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。

點撥:根據已知條件求出自變數x的取值範圍,將目標函式消元、配方,可求出函式的值域。

解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續,故只需比較邊界的大小。

當x=-1時,z=-5;當x=3/2時,z=15/4。

∴函式z的值域為{z∣-5≤z≤15/4}。

點評:本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間,若存在最值,也可通過求出最值而獲得函式的值域。

練習:若√x為實數,則函式y=x2+3x-5的值域為 ( )

a.(-∞,+∞) b.[-7,+∞]

c.[0,+∞) d.[-5,+∞)

(答案:d)。

六.圖象法

通過觀察函式的圖象,運用數形結合的方法得到函式的值域。

例6:求函式y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點撥:根據絕對值的意義,去掉符號後轉化為分段函式,作出其圖象。

解:原函式化為 -2x+1 (x≤1)

y= 3 (-12)

它的圖象如圖所示。

顯然函式值y≥3,所以,函式值域[3,+∞]。

點評:分段函式應注意函式的端點。利用函式的圖象

求函式的值域,體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函式值域的方法較多,還適應通過不等式法、函式的單調性、換元法等方法求函式的值域。

七.單調法

利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1:求函式y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥:由已知的函式是複合函式,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域為x≤1/3,在此區間內分別討論函式的增減性,從而確定函式的值域。

解:設f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函式,從而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函式,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函式值域為{y|y≤4/3}。

點評:利用單調性求函式的值域,是在函式給定的區間上,或求出函式隱含的區間,結合函式的增減性,求出其函式在區間端點的函式值,進而可確定函式的值域。

練習:求函式y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y≥3})

八.換元法

以新變數代替函式式中的某些量,使函式轉化為以新變數為自變數的函式形式,進而求出值域。

例2:求函式y=x-3+√2x+1 的值域。

點撥:通過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式,利用二次函式的最值,確定原函式的值域。

解:設t=√2x+1 (t≥0),則

x=1/2(t2-1)。

於是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以,原函式的值域為{y|y≥-7/2}。

點評:將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式,通過求出二次函式的最值,從而確定出原函式的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

練習:求函式y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}

九.構造法

根據函式的結構特徵,賦予幾何圖形,數形結合。

例3:求函式y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點撥:將原函式變形,構造平面圖形,由幾何知識,確定出函式的值域。

解:原函式變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一個長為4、寬為3的矩形abcd,再切割成12個單位

正方形。設hk=x,則ek=2-x,kf=2+x,ak=√(2-x)2+22 ,

kc=√(x+2)2+1 。

由三角形三邊關係知,ak+kc≥ac=5。當a、k、c三點共

線時取等號。

∴原函式的知域為{y|y≥5}。

點評:對於形如函式y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數),均可通過構造幾何圖形,由幾何的性質,直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習:求函式y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})

十.比例法

對於一類含條件的函式的值域的求法,可將條件轉化為比例式,代入目標函式,進而求出原函式的值域。

例4:已知x,y∈r,且3x-4y-5=0,求函式z=x2+y2的值域。

點撥:將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式,設定引數,代入原函式。

解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為引數)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

當k=-3/5時,x=3/5,y=-4/5時,zmin=1。

函式的值域為{z|z≥1}.

點評:本題是多元函式關係,一般含有約束條件,將條件轉化為比例式,通過設引數,可將原函式轉化為單函式的形式,這種解題方法體現諸多思想方法,具有一定的創新意識。

練習:已知x,y∈r,且滿足4x-y=0,求函式f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})

十一.利用多項式的除法

例5:求函式y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥:將原分式函式,利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0,故y≠3。

∴函式y的值域為y≠3的一切實數。

點評:對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函式均可利用這種方法。

練習:求函式y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)

十二.不等式法

例6:求函式y=3x/(3x+1)的值域。

點撥:先求出原函式的反函式,根據自變數的取值範圍,構造不等式。

解:易求得原函式的反函式為y=log3[x/(1-x)],

由對數函式的定義知 x/(1-x)>0

1-x≠0 解得,0<x<1。

∴函式的值域(0,1)。

點評:考查函式自變數的取值範圍構造不等式(組)或構造重要不等式,求出函式定義域,進而求值域。不等式法是重要的解題工具,它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。

以下供練習選用:求下列函式的值域

1.y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})

2.y=2x/(2x-1)。 (y>1或y<0)

注意變數哦~

如圖,求值域

負無窮到2根號3 9 1 x 0 x 1x 0 y 根號x 1 x 根號4 x 2 x 2 1 x 根號4 x 2 x 2 1 x 3 2 9 根號3 即最大值 2 9 根號3 x 0,y 0 x 0 所以 值域為 2 3 9 解 由題意得,x小於等於1 當x 0時,y 0 y x 1 x y x ...

老師,求值域有哪些方法啊,老師,求值域有哪些方法啊?

一般求函式的值域常有如下方法 1 利用函式性質求解析式 也就是根據題目條件的定義域和值域的範圍,確定解析式的形式,這種方法常用於解決分段函式的問題。2 配方法 換元法 對於形如 y ax b cx d 的函式,可以用換元法 對於含 a 2 x 2 結構的函式,可利用三角代換,轉化為三角函式求值域。3...

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第一步,將式子的分子拆開得 3 x 2 根號下x。第二步,以 1 根號下x 為一個整體,變成一個以它為整體的一元二次多項式,或者說一元二次函式,並化成頂點式,得 3 1 3.第三步,你對一元二次函式的基本性質應該知道吧,這個就不多說了。因為 1 根號下x 這個整體是大於零的,就是說取不到 1 3 而...