1樓:匿名使用者
用'表示
轉置, 則由
a,b為正交陣有
版a'a = aa' = e, b'b = bb' = e. 設c = ab', 有c' = ba', cc' = ab'ba' = e. det(c) = det(a)det(b') = det(a)det(b) = -1.
由det(c+e) = det(c+cc') = det(c)det(e+c') = det(c)det(c+e) = -det(c+e), 得det(c+e) = 0. 而a+b = ab'b+b = (c+e)b, 故
權det(a+b) = det(c+e)det(b) = 0.
證明:交換方陣a的某兩行,得到的方陣b滿足det(b)=-det(a)
2樓:ok好人好麼好
由det(a)=0,知 r(a)<3 ?a的行向量組線性相關、a的列向量組線性相關故a錯誤,b正確,c錯誤;對於選項d.如a=100 010 000 ,a的任意兩行都不對應成比例故d錯誤;故選:b.
設a,b都是n階實矩陣,其中a正定,b半正定.證明:det(a+b)>det(a)
3樓:匿名使用者
首先, 由a正定
, 存在正定矩陣c使a = c2. 這個用可對角化證明:
由a為實對稱陣, 存在正交陣t使t^(-1)at為對角陣.
又a正定, 故t^(-1)at的對角線上均為正數(特徵值 > 0).
故存在對角線上均為正數的對角陣d, 使t^(-1)at = d2 (取對角元的算術平方根即可).
取c = tdt^(-1), 由t是正交陣, 可知c是對稱陣, 又c與d相似, 故c正定.
且c2 = tdt^(-1)·tdt^(-1) = td2t^(-1) = a.
於是a+b = c2+b = c(e+c^(-1)bc^(-1))c.
記g = c^(-1)bc^(-1).
取行列式得det(a+b) = det(c)·det(e+g)·det(c) = det(e+g)·det(c2) = det(e+g)·det(a).
由det(a) > 0, 只需證明det(e+g) ≥ 1.
由g = c^(-1)bc^(-1), 而c^(-1), b都是實對稱陣, 可知g' = c'^(-1)b'c'^(-1) = g.
g也是實對稱陣且與b合同 (g = (c^(-1))'bc^(-1)).
由b半正定知g半正定, 即g的特徵值均非負, 於是e+g的特徵值均 ≥ 1.
行列式等於全體特徵值的乘積, 故det(e+g) ≥ 1.
設a ,b為n階半正定實對稱方陣 求證:det(a+b)≥det(a)+det(b) 希望給出詳細證明過程或連結
4樓:匿名使用者
首先,當a和b都是非正定的半正定陣時,不等式右邊為0,顯然成立。因此知考慮a b有一個是正定的情形。不妨設a正定。
其次,不等式det(e+b)>=det(e)+det(b),e是單位陣。這個不等式的證明只需考慮特徵值就可以了。b的特徵值是b1,...
,bn,則不等式左邊是(1+b1)...(1+bn),右邊是1+b1...bn,當然 成立。
一般情況,令a=c^tc,c可逆,det(a+b)=det(c^t(e+c^(-t)bc^(-1))c)=det(a)*det(e+c^(-t)bc^(-1))>=det(a)(1+det(c^(-t)bc^(-1))=det(a)+det(b)
設A為n階方陣，x和y為n維列向量。證明 若Ax Ay且x不等於y，則A必為非奇異矩陣
a x y 0，於是非零向量x y是方程ax 0的一個非零解。書上有定理，此時a必非奇異 ax ay a x y 0 r a r x y n r x y 1 r a n 1 a 0 a必為奇異矩陣 設a為mxn矩陣,r a n,證明 若ax ay，則x y 因為 ax ay 所以 a x y 0 所...
設n階矩陣A，B均可對角化，且AB BA，證明存在可逆矩陣T
樓 試證明 設a為n階實對稱矩陣,且a 2 a,則存在正交矩陣t,使得t 1at diag er,0 其中r為秩，er為r階單位矩陣 證明 a為實對稱矩陣，則幣可以對角化，令aa xa則 a 2 a x 2a 2 xa x x 1 a 0 a 0，x 0,1 則a矩陣的特徵值只能為0,1 所以r a...
線性代數題目，設A是n階正交矩陣，且det A 0，證明
因為det a 0，所以 正交矩陣的特徵值是正負1，所以a e的特徵值是0和2，所以a e的行列式 0 你要知版 道的就權是 正交矩陣的特徵值只可能是1或 1 解釋如下若正交陣a地特徵值是 則a的轉置的特徵值也為 而a的逆的特徵值為1 對於正交陣a，它的逆陣等於轉置，所以 1 所以 只可能等於1或 ...