1樓:匿名使用者
設a^(-1)有特徵值
baiλ,α是對應du於特徵值λ的zhia^(-1)的特徵向dao量,那麼a^(-1)α=λα,
因為專a正定,所以a的所有特徵屬大於0,即可推出a可逆以及λ≠0,對a^(-1)α=λα兩邊左乘a,然後把λ除過來,可知α/λ=aα,1/λ是a的特徵值,而由於a正定,1/λ>0,故λ>0,a^(-1)也正定.
設a*有特徵值λ,α是對應於特徵值λ的a*的特徵向量,那麼a*α=λα,同上面一樣a可逆=>a*可逆,等式左乘a得到aa*α=λaα => |a|α=λaα => aα=(|a|/λ)α => |a|/λ是a特徵值 => |a|/λ >0 => λ>0
證明a是正定矩陣,那麼a的逆也是正定矩陣,高手解一下步驟,謝謝 10
2樓:小小芝麻大大夢
首先,證明矩陣a的逆是對稱陣:
因為矩陣a是正定的,所以矩陣a對稱,即a^t=a;
又由於(a−1)^t=(a^t)−1;
所以(a−1)^t=a−1;故矩陣a逆是對稱陣。
然後,證明矩陣a的逆是正定矩陣:
因為矩陣a是正定的則存在x屬於r,且x不等於0,使得x^tax>0;
對於x^ta−1x=x^ta−1aa− 1x=x^t(a−1)^t aa−1 x=(a−1x)^ta(a−1x),且a−1x不等於0;
故(a−1x)^ta(a−1x)>0,所以x^t a−1 x>0,則a−1是正定矩陣。
3樓:soda丶小情歌
^^^若a正定,a對稱,at=a
對於a^-1t=at^-1=a^-1
故a逆對稱
存在x列向量使得
xtax>0,
對於xta^-1x=xta^-1aa^-1x=xta^-1t *a*a^-1x=(a^-1x)t a (a^-1x)>0
故a^-1正定。
4樓:匿名使用者
因為a為正定矩陣,所以a特徵值全大於0,所以a逆的特徵值全大於0,所以a逆正定
5樓:電燈劍客
直接用定義證就行了
x≠0 時 x^t a^ x = (a^x)^t a (a^x) > 0
為什麼若a是正定矩陣,則a的特徵值λ都>0.
6樓:
正定矩陣的定義就是:正慣性指數等於n,負慣性指數為0,而正慣性指數的意思就是特徵值中正數的個數。所以,很顯然啊,a正定的話,當然所有的特徵值都為正咯。
若ab為n階正定矩陣,則a,b也是正定矩陣.此命題成立嗎
7樓:匿名使用者
你好!不成立,最簡單的反例是a=b=-e是負定的,而ab=e是正定的。經濟數學團隊幫你解答,請及時採納。謝謝!
幫我證個題,若a為正定矩陣,b為正定矩陣,a-b為正定矩陣,則a^2-b^2正定
8樓:電燈劍客
反例:a=
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b=1 0
0 4顯然a,b,a-b都正定
但是a^2-b^2=
7 22
22 69
行列式為-1,不正定
這是題目設A是3階非零矩陣,若A20,則秩A是多
答案錯了吧 過程如下 假設r a 3,則det a 0,則a可逆,記a的逆矩陣為b。則a ae a ab aa b 0b 0與題中 a 0矛盾 故假設不成立,即得r a 3。因為 a 2 0 所以 r a r a 3 所以 r a 3 2 所以 r a 1.又因為a 0,所以 r a 1.綜上有 r...
若A,B是實對稱矩陣，則A與B有相同的特徵值是A與B相似的充分必要條件。為什麼
1 必要性 根據定理 相似矩陣有相同的特徵值。若矩陣a與矩陣b相似，則矩陣a與矩陣b有相同的特徵值。2 充分性 因為矩陣a與矩陣b均是實對稱矩陣，所以矩陣a與矩陣b均可對角化 且矩陣a與矩陣b有相同的特徵值，所以矩陣a與矩陣b相似於由相同特徵值構成的同一個對角矩陣 所以矩陣a與矩陣b相似。擴充套件資...
證明若A是n階矩陣,且滿足AATE,A1,則
證明 因為aa e a t 用a 表示 所以 a e a a e a a e a a e a e 則 a e a e 0 a e a aa a e a a e a e a a e 則 a e 0.e a a e 矩陣的轉置的行列式與此矩陣的行列式相等 行列式的性質 設a為n階方陣,滿足aa t e,...