1樓:匿名使用者
^^^consider
1/(1-t^dao2) = 1+t^2+t^4+....+t^(2n)+....
t= x/√回2
∑(n:0->∞答) (x/√2)^(2n)=1/[1-(x/√2)^2]
=2/(2-x^2)
(x/2)∑(n:0->∞) (x/√2)^(2n) =x/(2-x^2)
ie∑(n:0->∞) x^(2n+1)/2^(n+1)=(x/2)∑(n:0->∞) (x/√2)^(2n)=x/(2-x^2)
冪級數求和問題
2樓:匿名使用者
冪級數是微積分中十分重要的內容之一,而求冪級數的和函式是一類難度較高、技巧性較強的問題。求解冪級數的和函式時,常通過冪級數的有關運算(恆等變形或分析運算)把待求級數化為易求和的級數(即常用級數,特別是幾何級數),求出轉化後的冪級數和函式後,再利用上述運算的逆運算,求出待求冪級數的和函式。
以下總結了冪級數求和函式問題的四種常見型別:
一、通過恆等變形化為常用級數的冪級數求和函式s(x)
計算冪級數的和函式,首先要記牢常用級數的和函式,再次基礎上藉助四則運算、變數代換、拆項、分解、標號代換等恆等變形手段將待求級數化為常用級數的標準形式來求和函式。
二、求通項為p(n)x^n的和函式,其中p(n)為n的多項式
解法1、用先逐項積分,再逐項求導的方法求其和函式。積分總是從收斂中心到x積分。
解法2、也可化為幾何級數的和函式的導數而求之,這是不必再積分。
三、求通項為x^n/p(n)的和函式,其中p(n)為n的多項式
解法1、對級數先逐項求導,再逐項積分求其和函式,積分時不要漏掉s(0)的值。
解法2、也可化為幾何級數的和函式的積分求之。
四、含階乘因子的冪級數
(1)分解法:將冪級數一般項進行分解等恆等變形,利用e^x、sinx、cosx的冪級數式求其和函式。一般分母的階乘為n!
的冪級數常用e^x的式來求其和函式,分母的階乘為(2n+1)!或(2n)!的冪級數常用sinx、cosx的式來求其和函式
(2)逐項求導、逐項積分法
(3)微分方程發:含階乘因子的冪級數的和函式常用解s(x)滿足的微分方程的處之問題而求之。因此先求收斂域,求出和函式的各階導數以及在點0處的值,建立s(x)的長微分方程的初值問題,求解即得所求和函式
題中的型別為第二種型別
冪級數求和問題,求其詳細運算過程。
3樓:等待的幸福快樂
視問題而定,並不是所有的冪級數都能求出和的!
一般的冪級數求和都是對冪級數積分或求導或乘除x,得到一個可以求和的級數,求出和函式後再還原出原冪級數的和函式!
有些冪級數要用到泰勒級數或傅立葉級數的某些結論,甚至有些要用到複變函式的結論,雖然如此,仍然有很多冪級數的和函式是求不出來的!
例如:1 )f(x)= ∑(-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)
f'(x)=∑(-1)^(n-1) x^(2n-2)=1/(1+x^2)
f(0)=0
積分得 f(x)=f(0)+ ∫【0到x】dt/(1+t^2) =arctanx
2)f(x)= ∑n(n+1)x^(n-1)
積分兩次得 ∑x^(n+1)=x^2/(1-x)=
再求導兩次即可得f(x)=2/(1-x)^3
原式=2x/(1-x)^3
3)求導得 ∑(x+1)^(n-1)/2^n=(1/2)∑[(x+1)/2]^(n-1)=(1/2)/[1-(x+1)/2]=1/(1-x)
f=-ln(1-x)+c
f(-1)=0 c=ln2
f=ln2-ln(1-x)
級數求和公式問題
4樓:匿名使用者
這個冪級數當-1時收斂,級數和即部分和求極限之極限值,
前n項和,可
以看作是公比為x的等比數列,求和即s n=x · (1-x^n)/(1-x),當n➡無窮大時,s n➡x/(1-x),即s= x/(1-x)
冪級數求和的問題。 5
5樓:匿名使用者
這個答案確實有問題。首先需要說明這個冪級數在定義域x內一致收斂,然後應用一致收斂的性質(在收斂圓內冪級數可以逐項微分),就可以得到這個結論。
冪級數求和冪級數求和函式
設 n 1 n n 1 x n 1 f x 易證該冪級數收斂半徑為1 將級數,f x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 求導,f x x 2x 3x nx n x 1 2x 3x nx n 1 又設1 2x 3x nx n 1 g x 兩邊積分 g x x x x 1 1 x x 1 1 1 ...
高數求解,冪級數求和問題,高數冪級數求和函式問題求詳細過程
求導得 f x 1 n 1 x 2n 2 1 1 x 2 積分得 f x arctanx 所求級數 2f 1 2 2arctan 1 2 高數冪級數求和函式問題 求詳細過程 設y f x x2 x bai4 3 x 6 5 x 8 7 當x 0時y 0 當x 0時兩邊除以x,得duy x x x3 ...
高數級數求和函式問題高數冪級數求和函式問題！求詳細過程
由收斂半徑 1來的。收斂中心x 0，邊界x 1，x 1 該題解答的過程圖未拍全 一般是沒必要的，不清楚它後面怎麼寫？高數 級數求和函式問題 一個基本和函式 x n n e x 這個你應該知道的哦！解 原式 x x 2n n x x n n x e x 解 分享bai一種解法。由題設條件du，可知是關...