列滿秩矩陣一定有非零解嗎?為什麼?

2025-05-24 08:30:18 字數 2350 閱讀 4201

1樓:樂找遊

對於乙個n \times nn×n的矩陣,如果它的秩等於nn,則稱這個矩陣為滿秩矩陣。滿秩矩陣的每一行都是線性無關的,因此滿秩矩陣的行空間就是整個列空間。同理,滿秩矩陣的每一列也都是線性無關的,因此滿秩矩陣的列空間也是整個行空間。

對於乙個非齊次線性方程組慧遲ax=bax=b,其中aa是乙個列滿秩矩陣,xx和bb是向量。由於矩陣aa是列滿秩的,所以它的秩等於它的列數nn。而根據線性代數的基本定理,在乙個nn維向量空間中,任意乙個向量都可以唯一地表示成該空間的一組基向量的線性組合。

因此,由於矩陣aa的列空間等於它的行空間,任何向量bb都可以表示為矩陣aa的列向量的線性組合。也就是說,方程組ax=bax=b總有解。

因此,對於前橡李滿秩矩陣來說,非齊次線性方如晌程組ax=bax=b總有解,且至少存在乙個非零解。

滿秩矩陣的行列式為零是什麼?

2樓:小小杰小生活

矩陣滿秩行列式為0。因為滿秩,說明方陣的各行向量(或列向量)線性相,而行向量線性相關,就說明至少有一行可以由其他行乘係數相加得到,這根據行列式的性質可知,這樣的行列式為0。

設a是n階矩陣,若r(a)=n,則稱a為滿秩矩陣。但滿秩不侷限於n階矩陣。若矩陣秩等於行數,稱為行滿秩;若矩陣秩等於列數,稱為列滿秩。

既是行滿秩又是列滿秩則為n階矩陣即n階方陣。行滿秩矩陣就是行向量線性無關,列滿秩矩陣就是列向量線性無關;所以如果是方陣,行滿秩矩陣與列滿秩矩陣是等價的。

單位陣。單位陣是單位矩陣的簡稱,它指的是對角線上都是1,其餘元素皆為0的矩陣。

在矩陣的乘法中,有一種矩陣起著特殊的作用,如同數的乘法中的1,我們稱這種矩陣為單位矩陣,簡稱單位陣。它是個方陣,除左上角到右下角的對角線(稱為主對角線)上的元素均為1以外全都為0。

可用將係數矩陣轉化成單位矩陣的方法解線性方程組。

為什麼列滿秩矩陣只有零解

3樓:網友

列滿秩意味著ra=n,此時有rs=0,只有所有元素為0,秩才會為0,所以方程組只有零解。根據齊次線性方程組ax=0僅有零解。

常數項全部為零的線性方程組中,如果m擴充套件資料:性質:

1、齊次線性方程組的兩個解的和仍是齊次線性方程組的一組解。

2、齊次線性方程組的解的k倍仍然是齊次線性方程組的解。

3、齊次線性方程組的係數矩陣秩r(a)=n,方程組有唯一零解。齊次線性方程組的係數矩陣秩r(a)4、n元齊次線性方程組有非零解的充要條舉猜則件是其係數行列式為零。等價地,方程組有唯一的零解的充要條件是係數矩陣不為零。(克萊姆法則)

滿秩矩陣的行列式為零嗎?

4樓:帳號已登出

對的。先看矩陣秩的定義:矩陣a中如果存在乙個r階子式不等於0,而所有的r+1階子式(如果存在的話)全等於0,則規定a的秩r(a)=r。

那麼,如果n階方陣a滿秩,就是a的秩為n,則a有乙個n階子式不等於0,因為a只有乙個n階子式,即其本身,所以|a|≠0。

5樓:農憶楓

不為0,滿秩說明都線性無關。

6樓:網友

放屁,滿秩矩陣向量組線性無關,你告訴我有關?

矩陣的非零子式是什麼意思

7樓:帳號已登出

矩陣的非零子式意思:在矩陣中選取k行與k列,交叉點上的k^2個元素按原來位置組成的行列式稱為乙個k階子式。若這個子式不等於0,就稱為乙個非零子式。

這樣選出的這個子式,對它施行與上述,對矩陣的這些行,一樣的初等行變換後,此行列式恰好,化為上三角行,行列式,它與非零子式,僅相差乙個非零常數倍,從而就是乙個階非零子式,即它是乙個最高階非零子式。

矩陣。是高等代數學中的常見工具,也常乎兄猛見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中,矩歲橋陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用;電腦科學。

中,三維動畫。

製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析。

領域的重要問題。將矩陣塵返分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。

滿秩矩陣的行列式值不為零對不對

8樓:潭蘭英青綢

對的。先看矩陣秩的定義:矩陣a中如果存在乙個r階子式不等於0,而所有的r+1階子式(如果存在的話)全等於0,則規定a的秩r(a)=r。

那麼,如果n階方陣a滿秩,就是a的秩為n,則a有乙個n階子式不等於0,因為a只有乙個n階子式,即其本身,所以|a|≠0。

如果你知道線性無關的話那麼也可以這樣理解,滿秩矩陣一定是線性無關的,那麼其行列式的值不為0.

矩陣行向量的秩與列向量的秩相等,有證明嗎或者說明

將矩陣進行對角化的過程中,就可以看到行秩與列秩相等。矩陣的秩是由k階行列式來定義的,而行列式與其轉置行列式相等,所以在取k階行列式時,行與列的選取有對稱性。矩陣的秩等於它的列向量組的秩,也等於它的行向量組的秩 這句話怎樣理解?一個矩陣的行 列向量組是什麼 5 這裡是三種概念,但是他們的值是相同的。如...

可對角化的矩陣秩一定為1嗎?

因為a可對角化,所以 e a x 就有兩個線性無關解,即e a的秩是。詳解 e a的零度就是 的幾何重數,如果a可對角化則幾何重數等於代數重數。問題裡 e a的秩等於 中的 是二重特徵值。又因可對角化的矩陣的秩等於其非零特徵值的個數。推導過程 a可對角化時,存在可逆矩陣p使得 p ap diag a...

矩陣的秩等於它的列向量組的秩,也等於它的行向量組的秩這句話

這裡是三種概念,但是他們的值是相同的。如果感到很難理解,不妨使用空間維度來思考。一個矩陣的所有列向量,代表了所需要的維度 一個矩陣的所有行向量,代表了所能提供的維度。這裡會有三種情況 1.所提供的維度小於所需要的維度,那麼有幾個列向量是不能表示出來的 造成了行秩等於列秩,也就是等於列秩本可以達到所需...