1樓:匿名使用者
反例: 單位矩陣 e 就是一個行滿秩矩陣
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0 1
矩陣的秩和其伴隨矩陣的秩有什麼關係?
2樓:豆村長de草
當r(a)=n時,|a|≠0,所以|a*|≠0,所以r(a*)=n;當r(a)=n-1時,|a|=0,但是矩陣a中至少存在一個n-1階子 式不為0【秩的定義】,所以r(a*)大於等於1【 a*的定義 】
設a是n階矩陣,若r(a) = n, 則稱a為滿秩矩陣。但滿秩不侷限於n階矩陣。若矩陣秩等於行數,稱為行滿秩若矩陣秩等於列數,稱為列滿秩。
既是行滿秩又是列滿秩則為n階矩陣即n階方陣。
擴充套件資料
行列式的值與把向量寫成列向量橫排還是行向量豎排的方式是無關的。這也就是為什麼說,在計算行列式時,行和列的地位是對等的。
並且注意到,由上述分析,交換向量的順序,面積的值取負號,這也就是為什麼行列式中,交換列向量或者行向量一次,就要取一次負號的原因。
另外,行列式的其他計算性質,都一一反映在面積對映的線性性之中。 由此我們可見,行列式就是關於「面積」的推廣。他就是在給定一組基下,n個向量張成的一個n維廣義四邊形的體積。
這就是行列式的本質含義。
設a是n階矩陣,若r(a) = n, 則稱a為滿秩矩陣。但滿秩不侷限於n階矩陣。若矩陣秩等於行數,稱為行滿秩若矩陣秩等於列數,稱為列滿秩。
既是行滿秩又是列滿秩則為n階矩陣即n階方陣。
3樓:西域牛仔王
一個方陣與其伴隨矩陣的秩的關係:
1、如果 a 滿秩,則 a* 滿秩;
2、如果 a 秩是 n-1,則 a* 秩為 1 ;
3、如果 a 秩 < n-1,則 a* 秩為 0 。(也就是 a* = 0 矩陣)
4樓:葉慕白
設a是n階矩陣,a*是a的伴隨矩陣,兩者的秩的關係如下:
r(a*) = n, 若r(a)=n
r(a*)=1, 若r(a)=n-1;
r(a*)=0,若r(a)明行列式|a|≠0,說明|a*|≠0,所以這時候r(a*)=n;
若秩r(a) 若秩r(a)=n-1,說明,行列式|a|=0,但是矩陣a中存在n-1階子式不為0,對此有: aa*=|a|e=0 從而r(a)+r(a*)小於或等於n,也就是r(a*)小於或等於1,又因為a中存在n-1階子式不為0,所以aij≠0,得r(a*)大於或等於1,所以最後等於1. 5樓:獨行沒趣 r(a)=n,即a可逆,$a^a=e$,秩為n。r(a)=n-1時,則至少有一個n-1代數餘子式不為0,即秩≥1。又由線性方程組理論矩陣a和其伴隨矩陣秩的和≤n,可得秩為1。 r(a) 6樓: 假設是n階矩陣,矩陣的秩為n時,伴隨矩陣秩也是n,這個很簡單,因為矩陣可逆,所以行列式非零矩陣的秩是n-1時,伴隨矩陣的秩是1,這個可以把矩陣經過初等變換化成標準型,而初等變換不改變矩陣的秩以及其伴隨的秩,化成標準型後輕鬆看出伴隨的秩是1矩陣的秩小於n-1時,伴隨的秩是0,因為原矩陣的任意一個n-1階子陣都是0,所以伴隨矩陣是零矩陣,從而秩是0 7樓:遍體鱗傷 一個方陣與其伴隨矩陣的秩的關係: 1、如果 r(a)=n,則 r(a*)=n; 2、如果 r(a)=n-1,則 r(a*) =1; 3、如果 r(a)< n-1,則 r(a* )= 0 。 8樓:匿名使用者 矩陣秩=n時,伴隨=n;秩=n-1時,伴隨=1;秩小於n-1時,伴隨=0 9樓: a小於n-1 伴隨矩陣為0 等於n-1 1 等於n 為n 10樓:霖雨灰濛濛 在高等代數第四版課本第202頁,是課本上的證明題。 11樓:仰望天空 鄙人對線代也很無語。。。 12樓:凳不利多 別這樣說自己,人類學習知識的過程就是重塑大腦神經元的過程,沒什麼智商不智商的。 你可以自己寫一個矩陣,比如 1234 來對照下面的知識點去做實際的運算, 設a是n階矩陣,a*是a的伴隨矩陣,兩者的秩的關係如下: r(a*) = n, 若r(a)=n r(a*)=1, 若r(a)=n-1; r(a*)=0,若r(a) 證明如下所示: 若秩r(a)=n,說明行列式|a|≠0,說明|a*|≠0,所以這時候r(a*)=n; 若秩r(a) 若秩r(a)=n-1,說明,行列式|a|=0,但是矩陣a中存在n-1階子式不為0,對此有: aa*=|a|e=0 從而r(a)+r(a*)小於或等於n,也就是r(a*)小於或等於1,又因為a中存在n-1階子式不為0, 所以aij≠0,得r(a*)大於或等於1,所以最後等於1. 兩個矩陣的乘積為零 它們的 秩有什麼關係 13樓:甜美志偉 關係: r(a)+r(b)<=n; 推導過程如下: 設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣; 則 b 的列向量都是 ax=0的秩; 所以 r(b)<=n-r(a); 所以 r(a)+r(b)<=n。 擴充套件資料: 秩性質我們假定 a是在域 f上的 m× n矩陣並描述了上述線性對映。 只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射,當且僅當 a有秩 n(在這種情況下,我們稱 a有「滿列秩」)。 f是滿射,當且僅當 a有秩 m(在這種情況下,我們稱 a有「滿行秩」)。 在方塊矩陣a(就是 m= n) 的情況下,則 a是可逆的,當且僅當 a有秩 n(也就是 a有滿秩)。如果 b是任何 n× k矩陣,則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。 即:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b)) 推廣到若干個矩陣的情況。 就是:秩(a1a2...am)≤min(秩(a1),秩(a2),... 秩(am)) 證明:考慮矩陣的秩的線性對映的定義,令a、b對應的線性對映分別為 f和 g,則秩(ab)表示複合對映 f·g,它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。 然而 im g是整個空間的一部分,因此它在對映 f作用下的象也是整個空間在對映 f作用下的象的一部分。也就是說對映 im f·g是im f的一部分。 對矩陣就是:秩(ab)≤秩(a)。對於另一個不等式: 秩(ab)≤秩(b),考慮 im g的一組基:(e1,e2,...,en),容易證明(f(e1),f(e2),... ,f(en))生成了空間 im f·g,於是 im f·g的維度小於等於im g的維度。 對矩陣就是:秩(ab)≤秩(b)。因此有:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b))。若干個矩陣的情況證明類似。 作為 "<" 情況的一個例子,考慮積 兩個因子都有秩 1,而這個積有秩 0。可以看出,等號成立當且僅當其中一個矩陣(比如說 a)對應的線性對映不減少空間的維度,即是單射,這時 a是滿秩的。 於是有以下性質:如果 b是秩 n的 n× k矩陣,則 ab有同 a一樣的秩。如果 c是秩 m的 l× m矩陣,則 ca有同 a一樣的秩。 a的秩等於 r,當且僅當存在一個可逆 m× m矩陣 x和一個可逆的 n× n矩陣 y使得 這裡的 ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。 矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數(這就是秩-零化度定理)。 14樓:墨陌沫默漠末 關係是r(a)+r(b)<=n。 因為ab=0,所以b的每一列都是線性 方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論,ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數(或者說解空間的維數)≤ n-r(a)。 而b的列向量組是解空間的一部分,所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數,也就是≤ n-r(a),所以r(b)≤ n-r(a),從而r(a)+r(b)<=n。 方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r(a),m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者,表示為 min(m,n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩;類似的,否則矩陣是秩不足(或稱為「欠秩」)的。 設a是一組向量,定義a的極大無關組中向量的個數為a的秩。 定義1、在m*n矩陣a中,任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的一個k階子矩陣,此子矩陣的行列式,稱為a的一個k階子式。 例如,在階梯形矩陣中,選定1,3行和3,4列,它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的一個2階子式。 定義2、a=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣a的秩,記作ra,或ranka或r(a)。 特別規定零矩陣的秩為零。 顯然ra≤min(m,n) 易得: 若a中至少有一個r階子式不等於零,且在r由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(a)≠0;不滿秩矩陣就是奇異矩陣,det(a)=0。 由行列式的性質1(1.5)知,矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一樣的。 15樓:匿名使用者 它們的秩序關係是一個數字乘以零 16樓:匿名使用者 設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax=0 的解 所以 r(b)<=n-r(a) 所以 r(a)+r(b)<=n 17樓:電燈劍客 如果a是mxn的矩陣,b是nxk的矩陣,ab=0,那麼rank(a)+rank(b)<=n 18樓:alone丶 關係是:r(c)。。。。 矩陣的轉置乘以矩陣等於矩陣乘以矩陣的轉置嗎 19樓:韓苗苗 只有對稱copy 矩陣,反對稱矩陣和正交矩陣滿足矩陣的轉置乘以矩陣等於矩陣乘以矩陣的轉置。 如果矩陣不是方陣: 轉置矩陣與原矩陣的乘積是一個方陣,階數為原矩陣amxn的列數n;原矩陣與轉置矩陣的乘積是一個方陣,階數為原矩陣的行數m。這兩個矩陣不是同型矩陣,不相等。 如果矩陣是方陣: (1)對稱矩陣**置矩陣=原矩陣)的轉置矩陣與原矩陣的乘法滿足交換律。 (2)反對稱矩陣**置矩陣=原矩陣的負矩陣)的轉置矩陣與原矩陣的乘法滿足交換律。 (3)正交矩陣(逆矩陣=轉置矩陣)的轉置矩陣與原矩陣的乘法滿足交換律。 擴充套件資料 將矩陣的行列互換得到的新矩陣稱為轉置矩陣,轉置矩陣的行列式不變。 1.對於任何方形矩陣x,x+xt是對稱矩陣。 2.a為方形矩陣是a為對稱矩陣的必要條件。 3.對角矩陣都是對稱矩陣。 4.兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣,當且僅當兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特徵空間相同。 你好 不一定。行列式結果是一個數,而矩陣必須整體理解。只有對稱陣的轉置才等於原矩陣。經濟數學團隊幫你解答,請及時採納。謝謝 怎麼解釋行列式和它的轉置行列式相等 利用行列式的定義,展開之後有n 項 每一項都是正好取自行列式的不同內行不同列的容 元素 轉置之後,仍為n 項,並且符號不變 因為符號只依賴於... 題目寫漏了,應當是 a a n 1 證明過程如下圖。線性代數問題 為什麼a的行列式乘以a的伴隨矩陣的行列式等於a的行列式的n 1次方。aa a e aa a n 把 a 提到e裡面去,會發現從左上到右下的一列數都是 a 所以 a e a n。矩陣行列式 determinant of a matrix... 秩是2，所有三階子式為0，3階矩陣只有一個三階子式，就是行列式，所以行列式為0。二次型 quadratic form n個變數的二次多項式稱為二次型，即在一個多項式中，未知數的個數為任意多個，但每一項的次數都為2的多項式。線性代數的重要內容之一，它起源於幾何學中二次曲線方程和二次曲面方程化為標準形問...行列式和它的轉置行列式相等,那矩陣的轉置等於原矩陣嗎
為什麼A的伴隨矩陣的行列式等於A的行列式的n
為什麼二次型矩陣的秩為2，行列式就等於