證明已知函式f x 在 0,1 上連續且可導,且f(0)0,f(1 1,存在兩個不同點m,n使f

2022-12-21 19:11:11 字數 3602 閱讀 5545

1樓:風痕雲跡

是不是寫題時偷懶了啊。 應該是在閉區間[0,1]連續,開區間(0,1)可導吧。如果按你所寫的,在端點時可能不連續,於是所給端點條件毫無意義。

下面假設在閉區間[0,1]連續。

1. 如果 f(x)=x 在(0,1)上都成立。 任意取兩個不同點分別為m,n即可。

2.假設存在 0x0, (如果 f(x0) 1, 直線cb 的斜率k2 < 1. 於是 存在 k, 使得 k2 < 1/k < 1 < k < k1

因為 1 < k < k1, 過a點的斜率為k的直線 必夾在 ac, ab 之間, 於是,根據連續性,必在 x0< x < 1 上與 (x, f(x)) 相交, 設交點為d1= (x1, f(x1)), 則在0

類似, 因為 k2 < 1/k < 1, 過b點的斜率為1/k的直線 必夾在 ca, cb 之間, 於是必在 0< x < x0 上與 (x, f(x)) 相交, 設交點為d2= (x2, f(x2)), 則在x2

於是有 f『(n)f』(m)=1/k * k =1

說明: 上面的證明主要是幾何表述,完全可以轉化為代數式表述。只是幾何表述更便於理解。有疑問請繼續問。

2樓:匿名使用者

題目應該是在[0,1]上連續,(0,1)可導吧。。樓上證明的實在不嚴密。。。

lz學過高數的話就用中值定理來證吧。

證:設g(x)=f(x)+x,則g(x)在[0,1]上也連續g(0)=f(0)+0=0

g(1)=f(1)+1=2

因為g(x)在[0,1]上連續,所以存在x∈(0,1)使得g(x)=1

取ξ∈(0,1),g(ξ)=f(ξ)+ξ=1f(ξ)=1-ξ

不妨設m∈(0,ξ),n∈(ξ,1)

f'(m)=(f(ξ)-f(0))/(ξ-0)=(1-ξ)/ξf'(n)=(f(1)-f(ξ))/(1-ξ)=ξ/(1-ξ)(以上為兩次中值定理)

f'(m)*f'(n)=1證畢.

中值定理證明已知函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=0,f(1)=1,

3樓:金鉤炮金鉤炮

你會這樣理解,是因為你先入為主地認為在(0,1)先出現η和ζ(我姑且用「專出現」這個詞來幫助屬你理解),再出現了ξ再其中間。所以會產生這樣的疑問。

而正確的思維應該是(0,1)先出現了ξ,再出現了ζ和η。為什麼要這樣理解呢?首先第一題已經告訴你ξ是介於0和1之間的,而第二問要證明的是存在兩個不同的數即η和ζ,即只要證明它存在就夠了,並不需要知道這兩個數處於ξ的同側還是異側。

比如你要證明你身邊有兩個人,而你此時處於人群之中,你可以向右選取這兩個人,也可以向左選取,也可以左右各取一人。總之,只要證明有兩個人就夠了。而在本題中,選擇最後一種選人方式的理由,只不過是更好地使用中值定理罷了。

設函式f(x)在【0,1】上連續,在(0,1)上可導,且f(1)=f(0)=0,f(1/2)=1,

4樓:碧白楓費歡

根據有關法則,f'應當連續,而且有一點是0;假如f'在定義域不等於1,那麼一定小於1,則∫0~1/2

f'<1/2,這與f(1/2)=1矛盾,故題設成立

5樓:茹翊神諭者

可以考慮羅爾定理

答案如圖所示

6樓:長沛凝戚儒

一、1、令f(x)=f(x)-x

則f(1/2)=1/2,

f(1)=-1

有零點定理知,f(x)在(1/2

,1)上有零點,故存在η屬於(1/2,1),使f(η)=η2、原式=f(x)'-1-λ(f(x)-x)=0令f(x)=(

f(x)-x

)/e^λx

易知f(0)=0,f(η)=0

所以存在ξ屬於(0,η),使得f『(x)=0又因為f』(x)=(

f(x)'-1-λ(f(x)-x)

)/e^λx

所以存在ξ屬於(0,η),使f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1。

二、用反證法

若對於任意的x屬於(0,1),都有f『(x)小於等於1易知f(x)小於等於1,當f『(x)恆等於1時等號成立,又因為f(x)是x的非線性函式,所以f『(x)不恆等於1所以f(1)小於1,與已知矛盾

所以在(0,1)內至少存在一點ξ,使f'(ξ)>1

已知函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)上可導,且f(0)=0,f(1)=1,f(x)是x 10

7樓:風痕雲跡

設 g(x)= f(x)-x, 0<=x<=1g(0)=g(1)=0, 因為f(x)是x的非線性函式, 所以 g(x) 是 非 常值函式。

情形1: 存在 00.

於是 存在 0<ξ0, ==> f『(ξ)=g'(ξ)+1 >1情形2: 存在 00, ==> f『(ξ)=g'(ξ)+1 >1

設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。

8樓:你愛我媽呀

證明過程如下:

設g(x)=xf(x),

則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。

所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得:

存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.

所以f'(ε)=-f(ε)/ε。

9樓:匿名使用者

證明:設g(x)=xf(x),

則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0

所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得:

存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0

所以f'(ε)=-f(ε)/ε

設f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1),證明:存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0?

10樓:崇元化

令φ(x)=f(x)-(1-x),

則φ(x)在[0,1]上連續,

φ(0)=-1<0,φ(1)=1>0,

故由零點存在定理,

知存在ξ∈(0,1),使[*]

由拉格朗日微分中值定理,

存在η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使 [*]故  f』(η)・f』(ζ)=1。

11樓:

題目應該是兩個一階導數的和為0吧(因為題目都沒有說f函式有二階導數),如果是一階導數的話,過程如下請參考

12樓:匿名使用者

問題是這樣嗎?如果f(x)=(x-1/2)^2,那也滿足f(0)=f(1),但是f"(x)=2恆成立,就不存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0

已知函式fx在上連續,在0,1內可導,且f

微分方程學bai過沒 y 2 x x y 0 那麼同時乘du 以e zhi 2 x x dx x 2e x所以構造函dao數f x x 2e xf x 則f 專 x e x x 2f x 2xf x x 2f x 因為x 0可以提屬出一個x 就化為f x xe x xf x 2f x xf x 設函...

設函式fx在上連續,且fafb,證明

定義bai g x f x f x b a 2 a x a b a 2.g a f a f b a 2 g a b 2 f b a 2 f a g a 若g a 0,則取 a,結論即成立。du 若g a 不 0,因為g連續,且zhi在區間 a,a b a 2 兩個端dao點的 函式值符號相版異。所權...

設函式fx在上連續,在0,1內可導,且f

令g x x2e xf x du,zhi則g x 在 0,1 上連續dao,在 回0,1 內可導,且答 g x xe x xf x 2 x f x 因為f 0 f 1 0,由連續函式的零點存在定理可得,c 0,1 使得f c 0,從而g c 0.又因為g 0 0,故對函式g x 在區間 0,c 上利...