1樓:手機使用者
令g(x)=x2e-xf(x)du,zhi則g(x)在[0,1]上連續dao,在(回0,1)內可導,且答
g′(x)=xe-x[xf′(x)+(2-x)f(x)].因為f(0)f(1)<0,
由連續函式的零點存在定理可得,?c∈(0,1)使得f(c)=0,從而g(c)=0.
又因為g(0)=0,
故對函式g(x)在區間[0,c]上利用羅爾中值定理可得,存在ξ∈(0,1),使得g′(ξ)=0,
即:ξe-ξ[ξf′(ξ)+(2-ξ)f(ξ)]=0.又因為ξe-ξ≠0,
故ξf′(ξ)+(2-ξ)f(ξ)=0.
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。
2樓:你愛我媽呀
證明過程如下:
設g(x)=xf(x),
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。
所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得:
存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.
所以f'(ε)=-f(ε)/ε。
3樓:匿名使用者
證明:設g(x)=xf(x),
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得:
存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε
設f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,證明存在一點(0,1),使f'(ζ)=1
4樓:有點悶
因為f(x)在[0,3]上連續
bai,所以
duf(x)在[0,2]上連續zhi,且在[0,2]上必有dao最大值m和最小值m,於是:
版m≤權f(0)≤m,m≤f(1)≤m,m≤f(2)≤m,故:m≤f(0)+f(1)+f(2) 3 ≤m,由介值定理知,至少存在一點c∈[0,2],使得: f(c)=f(0)+f(1)+f(2) 3 =1,又由:
f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上連續,在(c,3)內可導,滿足羅爾定理的條件,故:必存在ξ∈(c,3)?(0,3),使f′(ξ)=0.
5樓:匿名使用者
由拉格朗日du中值定理zhi,
存在a∈(1/2,1), [f(1/2)-f(1)]/(1/2-1)=f'(a), 即f'(a)=-2 ,
存在b∈(0,1/2), [f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)=f'(a), 即f'(b)=2 ;
令φdao(x)=f'(x)-1,則φ(a)=f'(a)-1=-3, φ(b)=f'(b)-1=1 ;
則有φ(a)*φ(b)<0,根據零點定回理,存在ζ∈(b,a),使得φ答(ζ)=0, 即f'(ζ)-1=0
f'(ζ)=1得證。
ps.這邊可能缺少對f'(x)連續性的證明
6樓:茹翊神諭者
先用零點定理,
再用羅爾定理,詳情如圖所示
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=0,f(1)=π/4,則方程(1+x^2)f'(x)=1在(0,1)內至少有一個實
7樓:有點悶
因為f(x)在[0,3]上連
續,所以f(x)在[0,2]上連續,且在[0,2]上必有最大值m和最小值專m,屬於是:m≤f(0)≤m,m≤f(1)≤m,m≤f(2)≤m,故:m≤f(0)+f(1)+f(2) 3 ≤m,由介值定理知,至少存在一點c∈[0,2],使得:
f(c)=f(0)+f(1)+f(2) 3 =1,又由:f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上連續,在(c,3)內可導,滿足羅爾定理的條件,故:必存在ξ∈(c,3)?
(0,3),使f′(ξ)=0.
設函式fx在上連續,0,1內可導,且
函式f x 在 bai 0,1 上連續,du 0,1 內zhi可導,在 2 3,1 內至少存在一點 使dao得 f 1?2 3 12 3f x dx成立,版即權 f 3 12 3f x dx 因為3 12 3f x dx f 0 所以f f 0 因為函式f x 在 0,1 上連續,0,1 內可導,根...
設如果fx在上連續,在0,1內可導,且f
存在找特例。三個點座標,連續,得出可能為拋物線。設,f x 4 x 1 2 2 1,則f x 8x 4,8x 4 1,則x 3 8.所以存在這樣的點 建構函式即可 答案如圖所示 設f x 在 0,1 上連續,在 0,1 內可導,且f 1 f 1 2 令g x f x x,則g 0 0,g 1 2 1...
已知函式fx在上連續,在0,1內可導,且f
微分方程學bai過沒 y 2 x x y 0 那麼同時乘du 以e zhi 2 x x dx x 2e x所以構造函dao數f x x 2e xf x 則f 專 x e x x 2f x 2xf x x 2f x 因為x 0可以提屬出一個x 就化為f x xe x xf x 2f x xf x 設函...