在三角形ABC中,找一點P,使PA PB PC最小

2022-12-21 16:31:05 字數 2374 閱讀 4376

1樓:夜之晨夢

三角形的中線,角平分線和高線的交點與abc的連線

一道競賽題,在、銳角三角形abc中,求得一點p,使pa+pb+pc最短並證明

2樓:匿名使用者

設銳角△abc。(1)分別以ab,ac為一邊,向△abc外作正△abc'和正△acb'.連結bb',cc'.

線段bb'與cc'交於點p.易知,點p即是費爾馬點,且bb'=cc'=pa+pb+pc.(這裡,你講明瞭不用證明)。

下面的工作即是證明線段bb'(cc')最短。(2),設點q是△abc內的任一點,連結aq,bq,cq.以線段bq為一邊,向外(點c'方向)作正△bqr,連結rc'.

易知,∠c'br+∠rba=∠c'ba=60°=∠rbq=∠rba+∠abq,===>∠c'br=∠abq,,又顯然有c'b=ab,rb=qb.====>△c'br≌△abq(s.a.

s)===>c'r=aq.====>折線c'rqc=aq+bq+cq.又折線c'rqc>線段c'c.

(連結兩點的所有線中,直線段最短)。====》aq+bq+cq>ap+bp+cp. 這即證明了點p符合題設,最短。

(注:以上僅供你參考。)

3樓:狠狠愛

pa*bc+pb*ac+pc*ab=constant

所以最小值是最短的一條高

在、銳角三角形abc中,求得一點p,使pa pb pc最短並證明

4樓:匿名使用者

設銳角△abc。(1)分別以ab,ac為一邊,向△abc外作正△abc'和正△acb'.連結bb',cc'.

線段bb'與cc'交於點p.易知,點p即是費爾馬點,且bb'=cc'=pa+pb+pc.(這裡,你講明瞭不用證明)。

下面的工作即是證明線段bb'(cc')最短。(2),設點q是△abc內的任一點,連結aq,bq,cq.以線段bq為一邊,向外(點c'方向)作正△bqr,連結rc'.

易知,∠c'br+∠rba=∠c'ba=60°=∠rbq=∠rba+∠abq,===>∠c'br=∠abq,,又顯然有c'b=ab,rb=qb.====>△c'br≌△abq(s.a.

s)===>c'r=aq.====>折線c'rqc=aq+bq+cq.又折線c'rqc>線段c'c.

(連結兩點的所有線中,直線段最短)。====》aq+bq+cq>ap+bp+cp. 這即證明了點p符合題設,最短。

5樓:匿名使用者

編輯]費馬-托裡拆利點

托裡拆利的解法中對這個點的描述是:對於每一個角都小於120°的三角形

的每一條邊為底邊,向外作正三角形,然後作這三個正三角形的外接圓。托裡拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點,而這個交點就是所要求的點。這個點和當時已知的三角形特殊點都不一樣。

這個點因此也叫做托裡拆利點。

2023年,博納文圖拉·卡瓦列裡在他的著作《幾何學題集》(exerciones geometricae)中也**了這個問題。他發現,將作正三角形時作出的第三個點與對面的頂點連線,可以得出三條線段。這三條線段交於托裡拆利點,而且托裡拆利點對每條邊張的角都是120°。

[4][編輯]作法及證明

下面是三角形的費馬點的作法:

當有一個內角不小於

時,費馬點為此角對應頂點。

當三角形的內角都小於

時 以三角形的每一邊為底邊,向外做三個正三角形△abc',△bca',△cab'。

連線cc'、bb'、aa',則三條線段的交點就是所求的點。

[編輯]幾何證明

三角形的內角都小於

的情況:

首先證明cc'、bb'、aa'三條線交於一點。設p為線段cc'和bb'的交點。注意到三角形c'ac和三角形bab'是全等的,三角形c'ac可以看做是三角形b'ab以a點為軸心順時針旋轉60度得到的,所以角

等於60度,和

相等。因此,c'、a、b、p

四點共圓。同樣地,可以證明b'、a、c、p四點共圓。於是:

在幾何學中,費馬點是位於三角形內的一個點,給定一個三角形△abc的話,從這個三角形的費馬點p 到三角形的三個頂點a、b、c 的距離之和

比從其它點算起的都要小。這個特殊點對於每個給定的三角形都只有一個。

費馬點問題最早是由法國

數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給義大利數學家埃萬傑利斯塔·托裡拆利(氣壓計的發明者)的信中提出的。[1]托裡拆利最早解決了這個問題,而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題,並系統地進行了推廣,因此這個點也稱為托裡拆利點或斯坦納點,相關的問題也被稱作費馬-托裡拆利-斯坦納問題。

[編輯]源起:費馬的問題

2023年,勒內·笛卡兒邀請費馬思考關於到四個頂點距離為定值的函式的問題。這大概也是2023年,費馬寫信向埃萬傑利斯塔·托裡拆利詢問關於費馬點的問題的原因[1]。

如圖在三角形ABC中,若P點是角ABC和角ACB的角平分線的交點,則有角P 90度

因為bp平分 abc,cp平分 acb pbc 1 2 abc,pcb 1 2 acb pbc pcb 1 2 abc 1 2 acb 1 2 abc acb 1 2 180 a 90 1 2 a p 180 pbc pcb 180 90 1 2 a 90 1 2 a 圖圖圖圖圖圖圖!已知 abc,...

在三角形ABC中sinAcosB sinAcosC sinB

證 abc為銳角三角形,a b 90 得a 90 b sina sin 90 b cosb,即sina cosb,同理可得 sinb cosc,sinc cosa 上面三式相加 sina sinb sinc cosa cosb cosc 所以在銳角三角形abc中,求證sina sinb sinc c...

在三角形ABC中,若sinA c,則三角形ABC為什麼三角形

sina a cosb b cosc c同乘以abc bcsina accosb abcosc因為三角形abc面積 s 1 2 bcsina 1 2 acsinb 1 2 absinc所以cosb sinb,cosc sinc所以b c 45度 a 90度 三角形abc是等腰直角三角形 在 abc中...