如何證明根號三是無理數,如何證明根號3是無理數

2021-08-04 10:23:02 字數 5549 閱讀 1654

1樓:匿名使用者

分析:①有理數的概念:

“有限小數”和“無限迴圈小數”統稱為有理數。

整數和分數也統稱為有理數。

所有的分數都是有理數,分子除以分母,最終一定是迴圈的。

②無理數的概念:無限不迴圈小數,可引申為“開方開不盡的數”。

③反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立,然後正確地證明原假設是錯誤的。

解:假設(√3)是有理數,

∵ 1<3<4

∴(√1)<(√3)<(√4)

即:1<(√3)<2

∴(√3)不是整數。

∵整數和分數也統稱為有理數,而(√3)不是整數

∴在假設“(√3)是有理數”的前提下,(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。

此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)

兩邊平方,得:

m² / n² = 3

∴m² 是質數3的倍數

我們知道,如果兩個數的乘積是3的倍數,那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。

∴由“m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數”得:正整數m是3的倍數。

此時不妨設 m = 3k(k為正整數)

把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得:

(9k²) / n² = 3

∴3k² = n²

即:n² / k² = 3

對比“m² / n² = 3“ 同理可證

正整數n也是3的倍數

∴正整數m和n均為3的倍數

這與“m、n均為正整數且互質”相矛盾。

意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論,

∴原假設“(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)”是不成立的。

∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數

而已證(√3) 不是整數

∴(√3) 既 不是整數也不是分數,即(√3) 不是有理數。

∴(√3) 是無理數。

2樓:**座小茶葉

用反證法。假設√3是有理數,則任何一個有理數都可以表示為既約分數m/n(即:m、n為整數,且互質)

因此√3=m/n,得3=m^2/n^2,即m^2=3*n^2,因此m^2含有3的因數,因此m含有3的因數

假設m=3p,則:(3p)^2=3*n^2,得n^2=3p^2,因此n^2含有3的因數,因此n含有3的因數

所以,m、n均含有3的因素,與m、n互為質數矛盾,因此√3是無理數這是一個通用的證法,可以證明√2、√5、√6等等是無理數。

如何證明根號3是無理數

3樓:匿名使用者

用反證法

假設根bai號du3是有理數,則必然能寫zhi成最簡分數daon/m,n與m為互質整數。

令 根號回3=x

x的平方

答=3=n的平方/m的平方

3為正整數,同時也是有理數,n的平方與m的平方互質(由n與m為互質整數得出)即不存在公約數,則m的平方必為1(不然無法等於一個整數3) 3=n的平方=x的平方

推出根號3=x=n, 由於n為整數,則根號3也為整數,顯然是不對的,所以

根號3為無理數

4樓:

^方法du

一:假設根號3=p/q(p、q為互質整zhi數),則p^2=3q^2

所以dao3整除內p^2,因3是質數,容所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數

方法二:設x=根號3,則有方程x^2=3

假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。

方法三:設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1

根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾

5樓:匿名使用者

^可設sqrt(3)=p/q;p,q互素且為正數。copy則p^bai2=3*q^2

所以可令

dup^2=3*k,k>=1且為正數。

則q^2=k;

但是zhiq,p互素,則q^2與p^2也互素,但由上所dao推可知,q^2與p^2有公因子k,矛盾,故sqrt(3)為無理數。

請證明:根號三是無理數

6樓:風之鷂

^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數),則p^2=3q^2

所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數

2、設x=根號3,則有方程x^2=3

假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.

3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1

根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾

拓展資料:

由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年,德國數學家戴德金從連續性的要求出發,用有理數的“分割”來定義無理數,並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上,從而結束了無理數被認為“無理”的時代,也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

7樓:匿名使用者

^證明根號3是無理數,使用反證法

如果√3是有理數,必有√3=p/q(p、q為互質的正整數)兩邊平方:3=p^2/q^2

p^2=3q^2

顯然p為3的倍數,設p=3k(k為正整數)有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2

於是q於是3的倍數,與p、q互質矛盾

∴假設不成立,√3是無理數

8樓:雄鷹

分析:①有理數的概念:

“有限小數”和“無限迴圈小數”統稱為有理數。

整數和分數也統稱為有理數。

所有的分數都是有理數,分子除以分母,最終一定是迴圈的。

②無理數的概念:無限不迴圈小數,可引申為“開方開不盡的數”。

③反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立,然後正確地證明原假設是錯誤的。

解:假設(√3)是有理數,

∵ 1<3<4

∴(√1)<(√3)<(√4)

即:1<(√3)<2

∴(√3)不是整數。

∵整數和分數也統稱為有理數,而(√3)不是整數

∴在假設“(√3)是有理數”的前提下,(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。

此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)

兩邊平方,得:

m² / n² = 3

∴m² 是質數3的倍數

我們知道,如果兩個數的乘積是3的倍數,那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。

∴由“m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數”得:正整數m是3的倍數。

此時不妨設 m = 3k(k為正整數)

把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得:

(9k²) / n² = 3

∴3k² = n²

即:n² / k² = 3

對比“m² / n² = 3“ 同理可證

正整數n也是3的倍數

∴正整數m和n均為3的倍數

這與“m、n均為正整數且互質”相矛盾。

意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論,

∴原假設“(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)”是不成立的。

∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數

而已證(√3) 不是整數

∴(√3) 既 不是整數也不是分數,即(√3) 不是有理數。

∴(√3) 是無理數。

9樓:遲沛山告琳

方法一:假設根號3=p/q(p、q為互質整數),則p^2=3q^2

所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數

方法二:設x=根號3,則有方程x^2=3

假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。

方法三:設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1

根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾

10樓:樸卉吾嘉懿

^反證:假設根號3是有理數,則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2,

於是m是3的倍數,令m=3q,

代入上式整理得:n^2=3q^2,

故n也是3的倍數,這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。

如何證明根號3是無理數???????

11樓:淺唱湘雪

剛做過這種題目……我想想哈。

無理數是不能夠被寫成兩個整數比的

設根號3=a/b(a和b是互版質的整數,公約數權只有1)

則3=a²/b²

∴a²=3b²

可以得出a是3的倍數 ,設a=3n

∴(3n)²=3b²

這就跟a/b中a和b是互質的兩個整數相悖逆,因為a和b有公約數3,也就是用反證法的方式證明根號3是無理數

全部手打tat

12樓:匿名使用者

^方法一來:假設根號3=p/q(p、q為互質整數),源則p^2=3q^bai2

所以du3整除

zhip^2,因3是質dao

數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數方法二:設x=根號3,則有方程x^2=3

假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。

方法三:設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1

根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾

13樓:晁溫嶽雁

證明:若

3是有理bai數,則3=p/q;(p,q是du互素的整數zhi,即p,q的最大

dao約數是1)

則有3q=p;

則可令p=3k;(k大於專0的整數)

可得q=k;

但是k,3k的最大公約數為

屬k即p,q的最大公約數為k;

這與最大公數約為1矛盾。

故3不是有理數,即是無理數。

怎麼證明根號2不是無理數,證明根號2是無理數

p為質數時 設p 1 2 為有理數則p 1 2 m n m,n為互質的正整數 那麼p m 2 n 2 由此可知m 2可被p整除從而m也可被p整除,所以存在正整數k使得m p k 帶入上式得n 2 p k 2 得出n也能被p整除 m,n均能被p整除與m,n互質矛盾 所以p 1 2 為無理數 當p p1...

證明題 證明根號2是無理數,證明根號二是無理數

假如根號2是有理數,那麼它一定可以用一個最簡的 不能再約分的 分數m n表示 則 m 2 n 2 2 所以m 2 2 n 2 所以m是偶數 假設m 2k,那麼2 n 2 4 k 2 所以n 2 2 k 2 所以說n也是偶數 既然m,n都是偶數,那麼m n就不是最簡分數,與原設相矛盾故根號2是無理數 ...

怎麼證明根號5是無理數求證根號5是無理數

1 設 5不是無理數而是有理數,則設 5 p q p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1 2 兩邊平方,5 p 2 q 2,p 2 5q 2 3 p 2含有因數5,設p 5m,代入 25m 2 5q 2,q 2 5m 2,q 2含有因數5,即q有因數5。4 這樣p,q有公因數5,這與假設p,q...