怎麼證明根號5是無理數求證根號5是無理數

2021-03-05 09:21:35 字數 5042 閱讀 7637

1樓:你愛我媽呀

1、設√5不是無理數而是有理數,則設√5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)。

2、兩邊平方,5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3、p^2含有因數5,設p=5m,代入(*),25m^2=5q^2, q^2=5m^2,q^2含有因數5,即q有因數5。

4、這樣p,q有公因數5,這與假設p,q最大公約數為1矛盾。

5、√5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)不成立,

所以,√5不是有理數而是無理數。

2樓:豆豆寶寶

通俗地說,無理數是不能化

為分數的數,

嚴格地說,無理數就是不能寫成兩個整數比的數。

用反證法證明√5是無理數。

設√5不是無理數而是有理數,則設√5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)

兩邊平方,5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)p^2含有因數5,設p=5m

代入(*),25m^2=5q^2, q^2=5m^2q^2含有因數5,即q有因數5

這樣p,q有公因數5,

這與假設p,q最大公約數為1矛盾,

√5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)不成立,√5不是有理數而是無理數。

3樓:萇童銳舟

你的推理有錯誤的。解釋如下:

對√5那個證明來說,

p^2=5q^2(*),看等號右邊,q是整數,所以=5q^2必然是5的倍數,既然左右相等,那麼

p^2必然也是5的倍數,那麼如果p^2是5的倍數,只可能p是5的倍數,所以才有上面的結論。

對於你說的3的證明,關鍵其實也是這一步,

p^2=9q^2,說明9q^2是9的倍數,那麼p^2也是9的倍數,注意這時候並不代表p一定是9的倍數,因為p其實只要是3的倍數就可以保證p^2是9的倍數

求證:根號5是無理數

4樓:暴走少女

證明:√5是無理數。

設√5不是無理數而是有理數,則設√5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1。

兩邊平方,5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)p^2含有因數5,設p=5m

代入(*),25m^2=5q^2, q^2=5m^2q^2含有因數5,即q有因數5,這樣p,q有公因數5。

這與假設p,q最大公約數為1矛盾, √5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)不成立,

所以√5不是有理數而是無理數。

5樓:匿名使用者

證明:可以用『反證法』來證明:

假設√5是有理數,那麼它一定可以用一個最簡的既約分數a/b表示,√5=a/b

兩邊同時平方,得

5=a^2/b^2

得:a^2=5b^2,

由此可見,a是5的倍數,於是設a=5k,則有(5k)^2=5b^2

25k^2=5b^2

得:b^2=5k^2,

也就是說b也是5的倍數,

綜上,a、b都是5的倍數,那麼a/b就不是最簡分數了,與假設矛盾,因此,根號5不是有理數,必定是無理數。

6樓:富畫終琛

假設根號5是有理數,

設根號5=p/q,

其中,p,q是正的自然數且互質。

則由p^2=5q^2知

p^2可以被5整除,所以p也能被5整除(反證法可以證得:如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除,得證)

設p=5*n(n是正的自然數)

則5q^2=p^2=25n^2

這樣q^2也能被5整除,q也能被5整除

因此p與q有公因子5。

這與p,q互質相矛盾

從而證明了根號5為無理數。

如何證明根號5是無理數

7樓:血刺隱安潢

反證法: 設p=5*n(n是正的自然數) 則5q^2=p^2=25n^2 這樣q^2也能被5整除,q也能被5整除 因此p與q有公因子5。 這與p,q互質相矛盾 從而 證明了根號5為無理數。

如何證明根號5是無理數?

8樓:魚の米

無理數不能寫成兩整數之比

利用有理數和無理數的主要區別,可以證明√5是無理數。

證明:假設√5不是無理數,而是有理數。

既然√5是有理數,它必然可以寫成兩個整數之比的形式:√5=p/q

又由於p和q沒有公因數可以約去,所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。

把 √5=p/q 兩邊平方

得 5=(p^2)/(q^2) 即 5(q^2)=p^2 設p=5m 由 5(q^2)=25(m^2) 得 q^2=5m^2

同理設q=5n 他們必定有公因數5,這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。

這個矛盾是由假設√5是有理數引起的。因此√5是無理數。

9樓:地球

用計算器按咯 嘻嘻

怎麼證明根號5是無理數?

10樓:巫馬恭樊午

假設存在這樣一個有理數p,

p^2=

2.再設p

=a/b,

a、b是兩正整數,且既約,就是沒有除1外的共因子,使得(a/b)^2=2;

變形以後得a^2=2

*b^2,推出a^2是個偶數,同時為了滿足a^2是個平方數,那b^2必須包含一個因子2,所以a^2

/b^2不是既約的,那a/b也不是既約的啦!與前提矛盾,證得單位正方形對角線長度不是有理數!

11樓:魚仁戲壬

證明:若根號5是有理數,則設根號5=m/n(m、n為不為零的整數,m、n互質)(互質是指若n個整數的最大公因數是1,則稱這n個整數互質。)所以

(m/n)^2=根號5

^2=5

所以m^2/n^2=5

所以m^2=5*n^2

所以m^2是偶數,設m=2k(k是整數)

所以m^2=10k^2=5n^2

所以n^2=2k^2

所以n是偶數

因為m、n互質

所以矛盾

所以根號5不是有理數,它是無理數

12樓:改孝陶嬋

無理數的定義是:①含根號②根號裡的數不能再開放。而根號5符合

,所以是無理數

請問如何證明根號5,根號3是無理數?

13樓:簡可

反證法:

假設結論不成立(接下來用a表示根號3,因為不好打),即a為有理數,那麼存在正整數p和q(p,q無公因子,或稱互質),使得a=p/q(有理數的性質),兩邊平方,得到

p^2=3*q^2,

接下來分析,(具體過程可以有多種,但是都是從公因子3入手,引出矛盾)因為等號右邊有因子3,且3為質數,因此p一定是3的倍數,設p=3r,代入等式並約分得到,

3*r^2=q^2

同理,q也一定是3的倍數,於是p、q均為3的倍數,與p、q互質矛盾。

故有反證法的原理,知a為無理數

假設 根號5是有理數,

設 根號5=p/q,

其中,p,q是正的自然數且互質。

則由p^2=5q^2知

p^2可以被5整除,所以p也能被5 整除(反證法可以證得:如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除,得證)

設p=5*n(n是正的自然數)

則5q^2=p^2=25n^2

這樣 q^2也能被5整除,q也能被5整除

因此p與q有公因子5。

這與p,q互質相矛盾

從而 證明了根號5為無理數。

證明根號5是有理數還是無理數?如何證明的?請詳細解釋下,謝謝! 30

14樓:勾秀梅乾綢

根號是運算子號,表示平方的逆運算

有理數是可以寫成兩個整數相除形式的數

無理數是不能寫成兩個整數相除形式的數

15樓:維納斯丶澀小狼

因為整數的平方是整數,更好5不是整數

因為 分數的平方仍然是分數,

(√5)的平方不是分數

所以 √5不是分數

因此 √5不是有理數,即為無理數

16樓:徐少

解析:(1) 嚴格意義上,初高中階段是無法證明此題的

(2) 初高中階段,沒有給出「無理數」的精確定義。這直接導致:證明的過程中進入「迴圈論證」

(3) 初高中階段,我們所理解的代數,幾乎等同於「計算。

證明:根號5是無理數

17樓:匿名使用者

^假設 根號5是有理數,

設 根號5=p/q,

其中,p,q是正的自然數且互質。

則由p^2=5q^2知

p^2可以被5整除,所以p也能被5 整除(反證法可以證得:如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除,得證)

設p=5*n(n是正的自然數)

則5q^2=p^2=25n^2

這樣 q^2也能被5整除,q也能被5整除

因此p與q有公因子5。

這與p,q互質相矛盾

從而 證明了根號5為無理數。

18樓:聊資閔高卓

通俗地說,

無理數是不能化為分數的數,

嚴格地說,無理數就是不能寫成兩個整數比的數。

用反證法證明√5是無理數。

設√5不是無理數而是有理數,則設√5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)

兩邊平方,5=p^2/q^2,

p^2=5q^2(*)

p^2含有因數5,設p=5m

代入(*),25m^2=5q^2,

q^2=5m^2

q^2含有因數5,即q有因數5

這樣p,q有公因數5,

這與假設p,q最大公約數為1矛盾,

√5=p/q(p,q是正整數,且互為質數,即最大公約數是1)不成立,√5不是有理數而是無理數。

求證三次根號3是無理數,求證 根號5是無理數

假設三次根號來3是有理自 數則其可表示為n m n m互質 所以3m 3 n 3 所以n有約數3,設n 3k 則3m 3 27k 3,m 9k 3 所以m也有約數3 與m n互質矛盾 所以假設不成立,三次根號3是無理數 所有的有理數都可以寫成兩個整數之比 而無理數不能。根據這一點,有人建回議答給無理...

求證根號5 三次根號5是無理數需要嚴格證明

反證法 假設 根號5 三次根號5為有理數。設 5 1 6 x,則 x 6 5.根號5 三次根號5 x 3 x 2 x 2 x 1 a1,a1 0 為有理數。由反證假設 平方得 x 4 x 1 2 a1 2,x 6 1 1 x 2 a1 2 1 1 x 2 a1 2 5 1 1 x a1 5 根號5,...

怎麼證明根號2不是無理數,證明根號2是無理數

p為質數時 設p 1 2 為有理數則p 1 2 m n m,n為互質的正整數 那麼p m 2 n 2 由此可知m 2可被p整除從而m也可被p整除,所以存在正整數k使得m p k 帶入上式得n 2 p k 2 得出n也能被p整除 m,n均能被p整除與m,n互質矛盾 所以p 1 2 為無理數 當p p1...