1樓：匿名使用者
p為質數時
設p^(1/2)為有理數則p^(1/2)＝m/n (m,n為互質的正整數）
那麼p＝m^2/n^2
由此可知m^2可被p整除從而m也可被p整除,所以存在正整數k使得m=p*k
帶入上式得n^2=p*k^2
得出n也能被p整除
m,n均能被p整除與m,n互質矛盾
所以p^(1/2)為無理數
當p＝p1*p2 （p1,p2為p的質因式)
p1=p2時p^(1/2)=(p1*p1)^(1/2)=p1
所以p^(1/2)為有理數
p1與p2不等時
設p^(1/2)為有理數則p^(1/2)＝m/n (m,n為互質的正整數)
那麼p＝m^2/n^2=p1*p2
由此可知m^2可被p1整除從而m也可被p1整除,所以存在正整數k使得m=p1*k
帶入上式得p2*n^2=p1*k^2
得出n也能被p1整除
m,n均能被p整除與m,n互質矛盾
所以p^(1/2)為無理數
其他p=p1*p2*p3……等的證明也類似
2樓：匿名使用者
來個抽象的,反證證明：
√2為有理數，那麼存在兩個互質的正整數p,q使根號2=p/q
接下來p=(根號2)q
兩邊平方得
p^2=2q^2(「^」是幾次方的意思）
由2q^2是偶數，可得p^2是偶數。而只有偶數的平方才是偶數，所以p也是偶數。
因此可設p=2s,代入上式，得：
4s^2=2q^2,
即 q^2=2s^2.
所以q也是偶數。這樣，p,q都是偶數，不互質，這與假設p,q互質矛盾。
這個矛盾說明，根號2不能寫成分數的形式，即根號2不是有理數
證明根號2是無理數
3樓：顏代
證明：假設√2是有理數。那麼可用互質的兩個數m、n來表示√2。
即√2=n/m。
那麼由√2=n/m可得，
2=n^2/m^2，即n^2=2*m^2
因為n^2=2*m^2，那麼n^2為偶數，則n也為偶數。
則可令n=2a，那麼(2a)^2=2*m^2，化簡得2a^2=m^2，同理可得m也為偶數。
那可令m=2b。
那麼由m=2b，n=2a可得m與n有共同的質因數2，即m和n不是互質的兩個數。
所以假設不成立。
即√2是有理數不成立，那麼√2是無理數。
4樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
5樓：鮮日國漢
反證法如果√2是有理數，
必有√2=p/q(p、q為互質的正整數)
兩邊平方:2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數，
設p=2k(k為正整數)
有:4k^=2q^,
q^=2k^
顯然q業為偶數，
與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√2是無理數
6樓：
假設根號2是有理數
有理數可以寫成一個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
7樓：郝宸呼延華茂
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q為最簡分數,即最簡分數形式。
把√2=p/q
兩邊平方
得2=(p^2)/(q^2)
即2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p
必定為偶數，設p=2m
由2(q^2)=4(m^2)
得q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
8樓：曾自覃寄春
證明：假設根號2為有理數，則可表示為兩個最簡整數比的形式：
根號2=p/q
則兩邊平方得：2=
p2/q2
因為2q2必為偶數
所以p必為偶數，設為p=2m，（m屬於z）則p2=4m2=2q2，q2=2m2
所以，p必為4的倍數，q必為2的倍數！
則p，q必有公因數2，p/q不為最簡整數比！
與假設相矛盾
所以，假設錯誤，根號2為無理數！
9樓：匿名使用者
反證法假設√2是有理數，則√2＝m/n(m,n是互質的整數)所以m^2=2n^2,
2n^2是偶數，所以m^2是偶數，所以m=2k（k∈z）,所以4k^2=2n^2,2k^2=n^2,所以n也是偶數。
這與m,n互質矛盾
所以假設不成立得證。
10樓：匿名使用者
反證法:設根號2為有理數,則它可化為兩個整數相除的形式.分母為整數,假設分母不含因子根號2，則分子必定含有因子根號2,又分子為整數,則分子中根號2的個數必定為偶.
既然分子中根號2個數為偶,則它與分母相除就得不到根號2,這就產生了矛盾。
11樓：軒轅流霜
假設根號2是有理數
那麼根號2可以由兩個互質的素數表示成p/q即根號2=p/q
p=根號2*q
兩邊平方得p^2=2*q^2
所以p^2為偶數
所以p為偶數
所以p^2為4的整數倍
所以q^2為偶數
所以q為偶數
得到p、q均為偶數，並不互質
與假設矛盾
所以根號2為無理數
12樓：飽和食鹽水
有理數的性質是它可以化成一個分數m/n的形式，且m,n互質．設根2=m/n 則2=m^2/n^2
所以m^2為2的倍數，所以m為偶數．設m=2k,代入原式，所以n^2=2k^2,則n又為的倍數．
而這與m,n互質矛盾，所以不存在這樣的m,n.
所以根2為無理數．
13樓：匿名使用者
假設根號2為有理數，那麼必然可以表示為兩個整數之比，即m/n設m/n為最簡分數，即m.n互質
因為m/n=2
所以(m/n)^2=m^2/n^2=2
m^2=2n^2
所以m^2為偶數，即m為偶數
不妨設m=2k
那麼m^2=4k^2
所以n^2=m^2/2=2k^2
所以n^2為偶數，即n為偶數
所以m,n均為偶數，m/n必有公約數2，即m/n不是最簡分數，與假設矛盾，所以根號2不能表示為兩個整數m/n之比，所以不是有理數，即是無理數
14樓：匿名使用者
設根號2是有理數
根號2=m/n mn為互質整數
則2=m方/n方
m方=2m方 即m方是偶數,m為偶數
m為偶數,則m方為4的倍數
則n方為偶數,n為偶數
則mn不互質
與假設矛盾
所以:根號2是無理數
這種方法叫反證法,
1,假設相反的情況成立
2,根據假設得出於假設矛盾的結論
3,從而證明假設錯誤,原命題正確
15樓：匿名使用者
證明：如果根號2是有理數，
則滿足有理數的性質：任何有理數可以表示成p/q的形式其中p，q為正整數並且p，q互素即最大公約數是1則根據最大公因數的性質有正整數m，n
使mp+nq=1 …………（1）
因為 p/q=根號2 ，為有理數
所以 p=（根號2）*q也是有理數（根據有理數域性質）…………（2）代入（1）
m*（根號2）*q+nq=1 …………（3）又因為m>=1,根號2>1,q>=1,n>=1,所以m*（根號2）*q+nq>1，
與（3）矛盾
所以根號2為無理數證畢！
16樓：蕭泊星辰
上面的反證法是有漏洞的，題目要求證明√2是無理數，就相當於證明只有偶數的平方才是偶數，因此「只有偶數的平方才是偶數」是不能作為論據的，因為那是待證明的結論。
況且，既然假設了√2是有理數，那麼√2這個「有理數」的平方就是偶數，何來「只有偶數的平方才是偶數」？
嚴格的反證法應該是：
假設√2是有理數，即√2=m/n，m/n為最簡分數
由於1<√2<2，所以0<(√2-1)<1
因此m>(√2-1)m=2n-m∈n ; n>(√2-1)n=m-n∈n
所以，√2的最簡分數形式也許為[(√2-1)m]/[(√2-1)n]，但肯定不是m/n，這與假設矛盾。故√2是無理數。
怎麼證明根號2是無理數
17樓：還好知道點
此題可用反證法進行證明，具體證明過程如下：
假設根號2是有理數，則根號2可以表示為一個分數，因為任何一個有理數都可以表示為分數形式，不妨設根號2=a/b，其中a、b都是正整數，且為最簡，即不能再約分（即a、b只能一個為奇數，一個為偶數），很顯然，b≠1；
則兩邊分別平方，可得2=a²/b²
即a²可被b²整除，分兩種情況考慮
1、a為奇數、b為偶數，此時a²仍為奇數、b²仍為偶數，這時a²顯然不能被b²整除，即這種情況不滿足題意；
2、a為偶數、b為奇數，此時a能被2整除，則a²能被4整除，則a²/2仍為偶數，而根據假設a²/2=b²，此時b²應為奇數；但該情況時b為奇數，b²則也為奇數，即不滿足題意。
綜合考慮，由假設得出的結論均存在矛盾，則證明假設錯誤，原命題正確。
即根號2為無理數是正確的。
18樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
19樓：豐弼資谷秋
假設根號2是有理數
有理數可以寫成一個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
所以根號2是無理數
20樓：呆曉
無理數時指無限不迴圈小數，如果時有理數，可以寫成分母形式，根號二寫不了咯，所以就是無理數
21樓：匿名使用者
反證法如下：
假如根號2是有理數，那麼它一定可以用一個最簡的（不能再約分的）分數m/n表示，也就是m、n的最大公約數是1
則：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2，所以m^2是偶數
偶數的平方一定是偶數，反之亦然，若一個偶數是完全平方數，那它的平方根也一定是偶數，所以m是偶數
假設m=2k，，k是整數。那麼2*n^2=(2k)^2=4*k^2所以n^2=2*k^2，與上面同理
所以說n也是偶數
既然m,n都是偶數，那麼m/n就不是最簡分數，它們的最大公約數就不是1，至少2也是它們的公約數，很顯然2>1，與原題設的1是它們的最大公約數矛盾
故根號2是無理數
提高一下，如何證明根號3也是無理數呢？樓主自己去考慮
如何證明3次根號2是無理數？
22樓：匿名使用者
假設2的立方根為有理數，那麼這個有理數可以寫成a/b,(a,b為整數,且無公約數)
(a/b)^3=2
a^3=2b^3
若a為奇數,則a^3為奇數，而2b^3必定為偶數，不可能相等，所以a為偶數，而b就只能為奇數
令a=2k
得(2k)^3=2b^3
整理得4k^3=b^3
所以b^3是偶數，即b是偶數
與前面矛盾
所以2的立方根為無理數
證明題 證明根號2是無理數，證明根號二是無理數
假如根號2是有理數，那麼它一定可以用一個最簡的 不能再約分的 分數m n表示 則 m 2 n 2 2 所以m 2 2 n 2 所以m是偶數 假設m 2k，那麼2 n 2 4 k 2 所以n 2 2 k 2 所以說n也是偶數 既然m,n都是偶數，那麼m n就不是最簡分數，與原設相矛盾故根號2是無理數 ...
怎麼證明根號5是無理數求證根號5是無理數
1 設 5不是無理數而是有理數，則設 5 p q p，q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1 2 兩邊平方，5 p 2 q 2,p 2 5q 2 3 p 2含有因數5，設p 5m，代入 25m 2 5q 2,q 2 5m 2，q 2含有因數5，即q有因數5。4 這樣p,q有公因數5，這與假設p,q...
如何證明跟好5根號7都是無理數怎麼證明根號3是無理數，根號5呢，根號7等
兩個差不多的，就做一個根號5的 反證法 假設根號5為有理 數，則設根號5 a b，其中ab互質，ab為正整數則5 a 2 b 2，a 2 5b 2 從而a是5的倍數，從而左邊為25的倍數，從而b也是5的倍數，這與假設ab互質矛盾 從而根號5是無理數 希望能幫到您，望採納 通俗地說，無理數是不能化為分...