1樓:匿名使用者
你的意思是說
,如果分子或分母是in(tanx),當x→0時能不能替換成lnx吧?
因為如內果只是說求lim(x→0)(容ln(tanx))的話,無需替換,直接就能做出來,極限為-∞。
如果是求這樣的式子的極限。例如ln(tanx)/x在x→0時的極限時,不能替換,因為如果一替換,那麼實際上就是ln(tanx)和lnx之間進行替換。但是當t→0時,無論是ln(tanx)還是lnx都不是無窮小,所以根本不存在替換的問題。
高等數學 等價無窮小替換問題
2樓:安克魯
1、「等價無窮小
的替換一般發生在計算兩個無窮小的比值的極限(或者說是兩個無窮小極限值之比)時」。
[評析] 完全正確!
2、「等價無窮小在是乘除時可以替換,加減時不可替換」。
[評析] 不完全對!
如果只是無窮小之間的加加減減時,結果一定還是無窮小,完全可以替代。
如果加減時,還涉及到其他運算,則不能一概而論。
只要是等價無窮小,都可以替換。
3、「在計算等價無窮小之比的極限時,理論上要替換,是要替換掉分子上的無窮小(整個式子),或者分母上的無窮小(整個式子),這時其實是將整個分子或分母當作一個無窮小」。
[評析]:完全正確!
4、「而如果分子或分母上的無窮小不是由一個因式(如單單一個sin x,或tan x)構成的,而是由多個因式通過相乘除或相加減構成的,如 ln(1+x)* x 和ln(1+x)+ x 。那麼可以找一個與ln(1+x)* x 或 ln(1+x)+ x 的等價無窮小量來替換他。
因為ln(1+x)*x 這個無窮小是由兩個因式 想乘而成的,所以替換掉其中一個ln(1+x)為 x,之後形成的x^2 就是ln(1+x)* x的 等價無窮小,所以可以替換。而ln(1+x)+ x ,因為其是由兩個因式相加而形成的無窮小量,所以如果替換掉ln(1+x)為x,而形成的2x不是ln(1+x)+ x的等價無窮小,所以也就不能替換」。
[評析]:樓主被網上誤導了!
x 與 ln(1+x) 是同價無窮小
x^2 與 x*ln(1+x) 仍然是同價無窮小 。
2x 與〔x + ln(1+x)〕也是同價無窮小。
樓主後面受網上誤導不淺。趕緊糾正。
3樓:電燈劍客
這個問題很多人都搞不明白,很多自認為明白的人也不負責任地說一句「乘除可以,加減不行」,包括不少高校教師。其實這種**是不對的!關鍵是要知道其中的道理,而不是記住結論。
1.做乘除法的時候一定可以替換,這個大家都知道。
如果f(x)~u(x),g(x)~v(x),那麼lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。關鍵要記住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中兩項的極限是1,所以就順利替換掉了。
2.加減法的時候也可以替換!但是注意保留餘項。
f(x)~u(x)不能推出f(x)+g(x)~u(x)+g(x),這個是很多人說不能替換的原因,但是如果你這樣看:
f(x)~u(x)等價於f(x)=u(x)+o(f(x)),那麼f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x)),注意這裡是等號,所以一定是成立的!
問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量,此時餘項o(f(x))成為主導,所以不能忽略掉。當u(x)+g(x)的階沒有提高時,o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子,ln(1+x)+x是可以替換的,因為
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x),
所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x,那麼
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x),
此時發生了相消,餘項o(x)成為了主導項。此時這個式子仍然是成立的!只不過用它來作為分子或分母的極限問題可能得到不定型而無法直接求出來而已。
碰到這種情況也不是說就不能替換,如果你換一個高階近似:
ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
那麼ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)
這個和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的,但是是更有意義的結果,此時餘項o(x^2)可以忽略。也就是說用x-x^2/2作為ln(1+x)的等價無窮小量得到的結果更好。
從上面的例子就可以看出來,餘項很重要,不能直接扔掉,因為餘項當中包含了一定的資訊。而且只要保留餘項,那麼所做的就是恆等變換(注意上面我寫的都是等式)而不是近似,這種方法永遠是可行的,即使得到不定型也不可能得出錯誤的結論。等你學過帶餘項的taylor公式之後對這一點就會有更好的認識。
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