1樓:匿名使用者
假設b是a的實特徵值baiλ對應的特徵向量du,b不為零則zhi a·daob=λb
兩邊求轉
專置 b'·a' = λb'
上述兩等式相乘, b'·a' ·a·b= λb'·λb由於a是正交屬陣,得b'·b=(λ·λ)·b'·b =》λ^2=1 =》λ為1或-1
如何證明正交矩陣的特徵值為1或-1
2樓:demon陌
^設λ是正交矩陣a的特徵值,x是a的屬於特徵值λ的特徵向量即有 ax = λx,且 x≠0。
兩邊取轉置,得 x^ta^t = λx^t所以 x^ta^tax = λ^2x^tx因為a是正交矩陣,所以 a^ta=e
所以 x^tx = λ^2x^tx
由 x≠0 知 x^tx 是一個非零的數
故 λ^2=1
所以 λ=1或-1
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的,所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣(即該正交矩陣中所有元都是實數)可以看做是一種特殊的酉矩陣,但也存在一種復正交矩陣,這種復正交矩陣不是酉矩陣。
3樓:電燈劍客
這題目是錯的,樓上也在反覆用錯誤的回答坑人
求大家幫我解個題目。證明正交實矩陣a的特徵值為1或-1.謝謝大家給個詳細的解析,求大家了!! 15
4樓:匿名使用者
證: 設a是正交矩陣, λ是a的特徵值, α是a的屬於λ的特徵向量則 a^ta = e (e單位矩陣), aα版=λα, α≠0考慮向量λα與λα的內權積.
一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).
另一方面,
(λα,λα) = (aα,aα) = (aα)^t(aα) = α^ta^taα
= α^tα = (α,α).
所以有 λ^2(α,α) = (α,α).
又因為 α≠0, 所以 (α,α)>0.
所以 λ^2 = 1.
所以 λ = ±1.
5樓:電燈劍客
注意copy,這個結論是錯的,也算比較常見的錯誤了反例很多,比如說
a=cost sint
-sint cost
只要sint非零a就沒有實特徵值,根本談不上1或-1命題可以簡單修正成
實正交陣的實特徵值只能是1或-1
正交陣的行列式只能是1或-1
事實上實正交陣的特徵值在單位圓周上,共軛虛根成對出現並且反過來只要同時滿足以上兩條的任何有限個複數就一定可以作為某個實正交陣的特徵值
6樓:李墨明
如果它有實的特徵值,那麼必為+-1
但是正交實矩陣有可能特徵值全為複數
線性代數中怎麼證明正交矩陣的特徵值是1或者-1?
7樓:匿名使用者
首先要明白矩陣的基本知識:
若矩陣a的特徵值為λ,則a的轉置的特徵值也為λ,而a的逆的特徵值為1/λ.
對於正交矩陣來說,矩陣的轉置即為矩陣的逆,即:
λ=1/λ,所以:λ=1或-1.
8樓:匿名使用者
正交矩陣的行列式值等於1或負1
還有一個性質就只正交矩陣所有的行向量,列向量他的模等於1
證明任何正交矩陣的實特徵值要麼是1要麼是-1
9樓:匿名使用者
樓上回答基bai本正確,不過存在一個du小問題:
a(t)的特徵
zhi值為daoλ內(n)
a(-1)的特徵值為1/λ(n)
因為a(t)=a(-1)
所以λ(n)=1/λ(n)。這步是容不嚴密的。
兩個矩陣相等只能得到他們特徵值構成的集合是相等的,而不是每個對應的特徵值是相等的。
可以這麼證:
設x於b分別是a的特徵向量與特徵值,那麼ax=bx,在上式兩邊同時左乘a'(a的轉置),那麼有x=ix=a'ax=a(bx)=b(bx)=b^2 x
從而b^2 = 1,b=正負1。
10樓:匿名使用者
設矩陣為a(ij)
由於bai是正交矩陣aa(t)=i
所以a(t)=a(-1) ((t)為矩du陣轉置,(-1)為矩陣的逆zhi
設a的特徵
dao值為
版λ(n),則權a(t)的特徵值為λ(n)a(-1)的特徵值為1/λ(n)
因為a(t)=a(-1) λ(n)=1/λ(n)λ(n)^2=1
λ(n)要麼是1,要麼是-1
設a是正交矩陣,證a的特徵值只能是1或-1
11樓:電燈劍客
反例:a=
cosθ -sinθ
sinθ cosθ
其中θ不是π的整數倍
若λ是正交矩陣a的特徵值,證1/λ也是a的一個特徵值
12樓:匿名使用者
|λe-a|=|(λe-a)^t|= |λe-a^(-1)|= |a^(-1)(λa-e)|= |a^(-1)||1/λe-a|*λ^n,
若矩陣A的特徵值是a，矩陣B的特徵值是b，那麼A B的特徵值
性質絕對的p歷a bp等於pap pbp懂了？如果知道同階矩陣a，b的特徵值，a b的特徵值是a和b特徵值的和嗎？特徵值的個數不一定只有一個，故一般說a的特徵值之一為x，或x是a的一個特徵值，或x是a的特徵值之一。如果它們有a的特徵值x對應的特徵向量與b的特徵值y對應的特徵向量相同，比如都是 那麼 ...
n若A為正交矩陣,則丨A丨則矩陣A的特徵值為
n 若a為正 交矩陣,則baiaa e。那麼 dua zhia 1。又因為dao a a 那麼 a a 1或者 1.設 回是正交矩陣a的特徵值答,x是a的屬於特徵值 的特徵向量 即有ax x,且x 0.兩邊取轉置,得x ta t x t 所以x ta tax 2x tx 因為a是正交矩陣,所以a t...
老師，能不能幫我證明一下“實對稱矩陣的特徵值一定是實數，其特徵向量一定是實向量”，謝謝！不勝感激
證明 設 是實對稱矩陣a的特徵值,是a的屬於特徵值 的特徵向量即有 a a,a共扼 a,a 0.考慮 共扼 a 共扼 a a 共扼 a 共扼 所以 共扼 共扼 共扼 因為 0,所以 共扼 0.所以 共扼 即 是實數.如果a是實對稱矩陣，x 是a的特徵對，即ax x，那麼x h ax x h x，這裡...