sinXX在0，無窮的積分

1樓：阿

對於學過複變函式的同學，這道題採用留數定理解答較為簡便，以下是解答過程：

2樓：葉寶強律師

對sinx泰勒展開,再除以x有：

sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1)

兩邊求積分有：

∫sinx/x·dx

=[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)]

從0到無窮定積分

則將0,x(x→00）（這裡的x是一個很大的常數,可以任意取）代入上式右邊並相減,通過計算機即可得到結果

以上只是個人意見,以下是高手的做法：

考慮廣義二重積分

i=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdyd其中d = [0,+∞)×[0,+∞),今按兩種不同的次序進行積分得

i=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy

0 +∞ 0 +∞

= ∫sinx·(1/x)dx

0 +∞

另一方面,交換積分順序有：

i=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdyd=∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx0 +∞ 0 +∞

=∫dy/(1+y^2）=arc tan+∞-arc tan00 +∞

= π/2

所以：∫sinx·(1/x)dx=π/2

0 +∞

3樓：韓苗苗

^sinx/x在（0，無窮）的積分是π/2。

對sinx泰勒,再除以x有：

sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1)

兩邊求積分有：

∫sinx/x·dx=[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)]

從0到無窮求定積分，則將0,x(x→無窮）（這裡的x是一個很大的常數,可以任意取）代入上式右邊並相減,即可得到結果∫sinx·(1/x)dx=π/2。

擴充套件資料

積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的正實值函式，在一個實數區間上的定積分可以理解為在座標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。

一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。