黎曼函式在有理數處極限為0? 那1 2處不是1 2嗎

2025-06-06 21:40:29 字數 3497 閱讀 7362

1樓:金之卉鄲專

定理:黎曼函式在區間(0,1)內的極限處處為0。

證明:對任意x0∈(0,1),任給正數ε,考慮除x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點,因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式(q∈n+),且對每個q,函式值等於1/q的點都是有限的,所以除猛褲x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點,連同,與x0的最小距離為δ,則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式戚伍值均在[0,ε)中,從而黎曼函式在高知或x->x0時的極限為0

2樓:荀貝麗屠曲

對任意x0∈(0,1),任給正數ε,考慮除察兄指x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點,因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式(q∈n+),且對每個q,函式值等於1/q的點都是有限的,所以除x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點,連同,與x0的最小距離為δ,則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式值均在敗配[0,ε)中,從而黎曼函式在x->塵悉x0時的極限為0。

推論:黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續,有理點處處不連續。

對x=0,只需考慮有極限,證明完全一樣。」

為什麼黎曼函式在[0,1]上連續而在有理數上不連續呢?

3樓:球探報告

<>規定x=0可寫成0/1,因為x=1可寫成1/1,x=2可寫成2/1,..x=k可寫成k/1,此時r(x)=1,即x=0,1,2,..k,週期為1,所以黎曼函式。

又可寫成:<>

證明:∀x0∈(-lim(x→x0)r(x)=0,即r(x)在一切無理點連續,在有理點不連續世中。

證:由r(x)週期性,只考慮[0,1]中的點,即證x0∈[0,1],lim(x→x0)r(x)=0.

在[0,1]中,分母。

為1的數:0/1,1/1

分母為2的數:1/2

分母為3的數:1/3,2/3

分母為k的數:至多k個,k是正整數。

對任意正整數k,[0,1]上分母≤k的有理數有限個。

由函式極限定義:

0,找δ>0,記k=[1/ε]在[0,1]中分母≤k的有理數記為r1,r2,…,rn

令δ=min (1≤i≤n,ri≠x0)

x∈[0,1](0<|x-x0|<δ

i)x無理扒返螞春埋數。

r(x)=0

ii)x有理數,分母>k (前面規定k有限,這裡分母>k理所當然)

k=[1/ε]x的分母≥[1/ε]1,則r(x)≤1/([1/ε]1)<1/1/ε=

合起來就有。

r(x)-0|<ε

lim(x→x0)r(x)=0.

結論:黎曼函式在無理數連續,在很小一部分有理數不連續。

0,在[0,1]上r(x)≥ε的點至多有限個。

如何證明黎曼函式極限處處為0、處處不可導?

4樓:帳號已登出

根據定義就行了,分別討論有理點和無理點處的導數。

在運用以上兩條去求函式的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理。

證明收斂,然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函式 ,弊緩並且要滿足極限是趨於同一方向 ,從而證明或求得函式 的極限值。

單調有界準則:單調增加(減少)有租脊模上(下)界的數列必定收斂。

柯西收斂準則。

數列收斂野型的充分必要條件。

是:對於任意給定的正數ε,總存在正整數。

n,使得當m>n,n > n時,且m≠n,我們把滿足該條件的稱為柯西序列,那麼上述定理可表述成:數列收斂,若且唯若它是乙個柯西序列。

定理:黎曼函式在區間(0,1)內的極限處處為0。推論:黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續,有理點處處不連續

5樓:老蝦公尺

我想對這個結論的證明你肯定看到了,並且結論是這樣的。你感覺矛盾是直觀上不接受。

儘管有理點在這個區間上稠密,但有理點的取值能取大的很少(大小隻是相對。實際上,給定任何乙個小於1的數,能取比這個數大的有理點都是有限個),【這些大的數值是不在這個區間上稠密的】。任意給定乙個小於1的數,在這個區間任何子區間上都能找到乙個更小的子區間,在這個小的子區間上,儘管有有理數,但有理點的函式值能比給定的數小。

所以極限處處為0不難理解。

這樣,在無理點的任何鄰域儘管有無窮多個有理點,但數值大的不多(給定乙個小於1的數,只有有限個有理點的數值能比這個數大),剩下的無窮多個有理點函式值都很小,和0差不多。因此在無理點連續很正常。

對有理點處處不連續,因為對固定的有理點它的函式值是確定的值,而它的任何鄰域裡總有無理點。還有函式值比這點的函式值更小的無窮多個有理點,這樣它和附近的函式值差別就比較大。

連續的本質就是兩點距離很近,則函式值就差不多。在有理點做不得這一點。

這是為的直觀理解,不知是否正確,能否對你有幫助。歡迎討論!

定義在區間[0,1]上的黎曼函式在無理點是否連續?()

6樓:實用科技小百科

定義在區間[0,1]上的黎隱改信曼函式在無理點是灶輪否連續?()a.不連續。

b.取決於具體情況。

c.尚且無法證明殲森。

d.連續。正確答案:d

黎曼函式極限為什麼是

7樓:戊秋芹輝橋

是這個函式嗎:r(x)=1/q(當x=p/q,(p,q)=1且q>0時);0(當x為無理數時)

如果確實是則該命題有誤,很顯然取序列(2n+1)/2,n為正整數,n趨向正無窮,則r(x)恆等於1/2,這與該命題矛盾。

8樓:網友

對任意x0∈(0,1),任給正數ε,考慮除x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點,因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式(q∈n+),且對每個q,函式值等於1/q的點都是有限的,所以除x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點,連同,與x0的最小距離為δ,則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式值均在[0,ε)中,從而黎曼函式在x->x0時的極限為0。 推論:

黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續,有理點處處不連續。

對x=0,只需考慮有極限,證明完全一樣。」

9樓:匿名使用者

定理:黎曼函式在區間(0,1)內的極限處處為0。 證明:

對任意x0∈(0,1),任給正數ε,考慮除x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點,因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式(q∈n+),且對每個q,函式值等於1/q的點都是有限的,所以除x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點,連同,與x0的最小距離為δ,則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式值均在[0,ε)中,從而黎曼函式在x->x0時的極限為0。 推論:

黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續,有理點處處不連續。

對x=0,只需考慮有極限,證明完全一樣。」

黎曼函式值域是[0,1]嗎?

10樓:數學劉哥

定義域慎扮做是0到1的缺銷閉區間,值域不是寬衡。

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