a,b,c屬於R a b c 1求證ab bc ac小於等於

2022-12-31 12:10:39 字數 5381 閱讀 1959

1樓:匿名使用者

(a+b+c)^2=1

a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1又∵a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac∴1=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>=3(ab+bc+ac)

∴3(ab+bc+ac)<=1

∴ab+bc+ac<=1/3

2樓:匿名使用者

解:(√a,√b,√c)是單位球面上的點,我們轉換為極座標,設√a=sinθcosφ,√b=sinθsinφ,√c=cosθ,注意a+b=sin^θ

那麼ab+bc+ca=ab+(a+b)c=sin^^θcos^φsin^φ+sin^θcos^θ

=1/4sin^^θsin^(2φ)+sin^θcos^θ<=1/4sin^^θ+sin^θcos^θ=sin^θ-3/4sin^^θ=1/3-3/4(sin^θ-2/3)^<=1/3

3樓:匿名使用者

2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=1-(a^2+b^2+c^2)

=1-1/2(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)<=1-1/2(2ab+2bc+2ac)

得3(ab+bc+ca)<=1

所以ab+bc+ca<=1/3

4樓:匿名使用者

證明:ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2

故3(ab+bc+ca)<=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2=1

因此ab+bc+ac小於等於1/3

a+b+c=1,求證:ab+bc+ac小於或等於1/3 5

5樓:匿名使用者

小於 老了不死

a+b+c=1,給這個式子平方,(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac),因為a^2+b^2>=2ab,b^2+c^2>=2bc,a^2+c^2>=2ac,所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac,1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>=ab+bc+ac+2(ab+bc+ac)=3(ab+bc+ac),所以ab+bc+ac__小於__1/3

6樓:匿名使用者

a+b+c=1兩邊平方

a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1所以2=2a^2+2b^2+2c^2+4ab+4bc+4ac=(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+4ab+4bc+4ac

>=2ab+2bc+2ac+4ab+4bc+4ac=6ab+6bc+6ac

所以ab+bc+ac<=1/3

已知a+b+c=1,求證:ab+bc+ac小於等於1/3.如題 謝謝了

7樓:手機使用者

平方再乘以二 a2加b2大於等於2ab 類比即得到 或者:(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1 a^2+b^2≥2ab…………所以(a+b+c)^2=1≥3ab+3ac+3bc,所以ab+bc+ac小於等於1/3

已知a+b+c=1,求證ab+bc+ac小於等於1/3!

8樓:匿名使用者

(a+b+c)^2=1

a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1又∵a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac∴1=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>=3(ab+bc+ac)

∴3(ab+bc+ac)<=1

∴ab+bc+ac<=1/3

9樓:匿名使用者

a+b+c=1

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1

a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(不會證明的話,兩邊同時乘以2,a^2+b^2≥2ab)

∴ab+bc+ac≤1/3

10樓:匿名使用者

(a+b+c)2=aa+bb+cc+2ab+2bc+2ca

aa+bb>=2ab

上式=1>=3(ab+bc+ca)

已知a,b,c屬於正實數,且a+b+c=1.求證:ab+bc+ca<=1/3

11樓:匿名使用者

證:由均值不等式得

a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,c²+a²≥2ca(a²+b²)+(b²+c²)+(c²+a²)≥2ab+2bc+2ca

2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)a²+b²+c²≥ab+bc+ca

a+b+c=1

(a+b+c)²

=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)

(a+b+c)²=1

3(ab+bc+ca)≤1

ab+bc+ca≤1/3

12樓:匿名使用者

a+b+c=1 b+c=1-a

ab+bc+ca = a(b+c)+bc= a(1-a)+bc >>>>>>>> 1

a,b,c屬於正實數, 所以 (b-c)^2>=0, 即 b^2+c^2>=2bc, 兩邊同加2bc 得 (b+c)^2>=4bc

即 bc<=[(b+c)^2]/4 -----> bc<=[(1-a)^2]/4 >>>> 2

結合 1 和 2 得 ,

ab+bc+ca= a(1-a)+bc < = a(1-a)+ [(1-a)^2]/4= 1/4*(1+2a-3a^2)=1/3-3/4(a-1/3)^2<=1/3

13樓:無所謂的文庫

證明:∵a,b,c屬於正實數

∴a>0,b>0,c>0

∵a+b+c=1

∴(a+b+c)²=1

[(a+b)+c]²=1

(a+b)²+2(a+b)c+c²=1

a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²=1a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=12(ab+bc+ac)=1-(a²+b²+c²)........①又∵a²+b²≥2ab

b²+c²≥2bc

a²+c²≥2ac

即:(a²+b²)+(b²+c²)+(a²+c²)≥2ab+2bc+2ac

2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)a²+b²+c²≥ab+bc+ac

∴由①有:

2(ab+bc+ac)≤1-(ab+bc+ac)3(ab+bc+ac)≤1

ab+bc+ac≤1/3

14樓:匿名使用者

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1

(a-b)^2≥0

a^2+b^2≥2ab

同理b^2+c^2≥2bc,a^2+c^2≥2aca^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)≥ab+bc+ac+2(ab+bc+ac)=3(ab+bc+ac)

(a+b+c)^2=1

3(ab+bc+ac)≤1

ab+bc+ac≤1/3

15樓:匿名使用者

ab+bc+ca

=1/2*(2ab+2bc+2ca)

=1/2*[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]=1/2-(a^2+b^2+c^2)/2

<=1/2-(a+b+c)^2/6

=1/2-1/6

=1/3

a+b+c=1,求證9abc小於或等於ab+bc+ac

16樓:0天瓊

由a²+b²≥2ab

可得(a²+b²)c≥2abc

同理可得(a²+c²)b≥2abc

(b²+c²)a≥2abc

三式左右相加,得:

(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a≥6abc

上式兩端同時加上3abc,得

(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc≥9abc

重新排一下順序,再把3abc拆成三個abc,得

(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc

=(abc+a²c+a²b)+(b²c+abc+b²a)+(c²b+c²a+abc)

=(bc+ac+ab)a+(bc+ac+ab)b+(bc+ac+ab)c

=(bc+ac+ab)(a+b+c)

所以:(bc+ac+ab)(a+b+c)≥9abc

又a+b+c=1,則(bc+ac+ab)≥9abc

你可以參考一下這個**的回覆,兩個問題實質是一樣的。

17樓:匿名使用者

a+b+c=1,(a+b+c)(a+b+c=1)大於等於0,自己去算吧

已知a+b+c=1,求證ab+ac+bc<=1/3

18樓:匿名使用者

a+b+c=1

(a+b+c)^2 = 1

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1..........(1)

又因為(a - b)^2 + (b - c)^2 +(a - c)^2 >= 0

a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac ..............(2)

把(2)代入(1)得

3(ab + bc + ac )<= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1

即 3(ab + bc + ac )<= 1

則 ab + bc + ac <= 1/3

19樓:匿名使用者

證明:因為:a+b+c=1,所以:

(a+b+c)^2=1, (a+b+c) ^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1,再因為:a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca,所以:3(ab+ac+bc)<=1 即:

ab+ac+bc<=1/3

20樓:匿名使用者

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1a^2+b^2>=2aba^2+c^2>=2acb^2+c^2>=2bc2(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2ac+2bca^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc3(ab+ac+bc)<=1ab+ac+bc<=1/3

21樓:匿名使用者

證明:a+b+c=1,有(a+b+c)^2=1,式子有a*a+b*b+c*c+2(ab+bc+ca)=1,又由基本不等式a*a+b*b+c*c>=ab+bc+ca,代入上式即得所求!

已知 a b c屬於R 且a b c 1,求證根號a 根號b 根號c根號

a b c du ab zhi ac dao bc 1 2 a b 2 1 2 a c 1 2 b c 2 0 ab ac bc a b c 1 a b c 2 a b c 2 ab ac bc 3 a b c 3 a b c 3 看不內懂歡 容迎追問 本題很簡單,柯西不等式一步出來 3 a b c...

已知a,b,cR,且abc1,求證a

證明 a a b b a b a b 2 同理b b c c a a c c 三式相加可得a a b b c c a b 平方 版 b c 平方 a c 平方 4 因為權a,b,c r 且 a b c 1 所以a b 1 c b c 1 a a c 1 b.4 a平方 b平方 c平方 1 c 平方 ...

已知a,b,c為正數,求證1cabc

先觀察,明顯是個對稱問題,不妨設0 利用a b c 3 abc 1 3 a,b.c正數 1 a2 1 b2 1 c2 專a b c 2 a 2b 2 b 2c 2 a 2c 2 a b c 2 abc 2 3 abc 4 3 3 abc 1 3 2 abc 2 27 a 4 a 2 a 6 27a ...