1樓：關鍵他是我孫子
矩陣乘矩陣的轉置的秩=矩陣的秩。證明如下：
設 a是 m×n 的矩陣
可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 是 a'ax=0 的解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0，故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
2樓：匿名使用者
這兩個矩陣的秩都等於原矩陣的秩，證明見下圖，要用到齊次線性方程組解的知識。
矩陣與其轉置矩陣乘積的秩與本身的秩
3樓：林若宇小木
設 a是 m×n 的矩陣。
可以通過
證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
矩陣與其轉置矩陣乘積所得到的矩陣的秩與該矩陣的秩有何關係
4樓：電燈劍客
如果a是mxn的實矩陣，那麼rank(aa^t)=rank(a^ta)=rank(a)
如果進一步有rank(a)=n（此時顯然一定要有m>=n），那麼rank(a^ta)是n階可逆陣
為什麼矩陣的轉置和矩陣本身相乘後得到的矩陣的秩是1？
5樓：匿名使用者
樓主，你的題目有點問題，估計是忘記交代此矩陣為n*1的矩陣了，因為對於任意n*m矩陣a，rank(a*a')並不一定是1.例如，若a為n階單位矩陣e，則a*a'=e*e=e，rank(a*a')=n. 另一方面，若a為n*1矩陣，則a*a'為n階方陣，由於rank(a*a')<=min=rank(a)<=1(因為a為n*1矩陣，從而其秩最多取到1)；若a為非零矩陣，則rank(a)=1,並且a*a'不可能為零矩陣，因此rank(a*a')=1；若a為零矩陣，則rank(a)=0，從而rank(a*a')=0.
6樓：匿名使用者
利用矩陣的運演算法則證明一下就ok了
矩陣a的轉置乘以矩陣a，其秩會等於a嗎
7樓：皇靈陽聖昕
若a為實矩陣，則a乘以a的伴隨矩陣為|a|e，其中|a|為a的行列式，e為單位矩陣。
8樓：匿名使用者
秩是一個數，而a是一個矩陣，所以秩絕不會等於a！（應該說秩等於a的秩（或 r(a))還差不多）
劉老師你好，矩陣a的轉置乘以矩陣a，其秩會等於a嗎？
9樓：匿名使用者
a是實矩陣就可以
實矩陣是指a中元素都是實數
不一定是對稱矩陣.
此時 r(a^ta) = r(a)
證明方法是用齊次線性方程組 ax=0 與 a^tax=0 同解.
a不一定是方陣, 不一定可逆
10樓：
根據矩陣秩的定義結合行列式與轉置行列式相等顯然矩陣的秩與其轉轉置矩陣的秩相等
證明：矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).
11樓：
設 a是 m×n 的矩陣。
可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
12樓：匿名使用者
這個樣子可能可以：
a=peq 其中e是a的標準型,p,q為可逆矩陣那麼a'=q'e'p';
所以aa'=pe**'e'p';
設**'=(x y)
(z w)
其中x為r*r的矩陣且其軼也為r，因為它是可逆矩陣的一個分塊。
所以上式可以化簡為：
aa'=p(x o)q
(0 0)
而pq都是可逆的，所以
r(aa')=r(x o)
(0 0)
所以它就等於r。
可能看起來比較不爽，可是我也打不出來比較好的效果，湊和看吧。
也可能有比較簡單的方法。就這樣吧。
13樓：匿名使用者
king__dom的做法很棒
矩陣a乘以它的轉置矩陣後得到的矩陣b的秩等於a的秩，為什麼？ 即若b=a^t a，求證：r(b)=r(a).
14樓：匿名使用者
a是實矩陣時結論成立.
證明思路:
齊次線性方程組 ax=0 與 a^tax=0 同解.
先自己試證, 哪卡住來追問
15樓：電燈劍客
這個結論的前提是a是實矩陣
可以通過方程ax=0和a^tax=0同解來證明
當然，如果你知道奇異值分解的話更簡單
證明：矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).詳細解答
16樓：匿名使用者
證明:(1)設x1是ax=0的解, 則ax1=0所以a'ax1=a'(ax1)=a'0=0所以x1是a'ax=0的解.
故 ax=0 的解是 a'ax=0 的解.
(2)設x2是a'ax=0的解, 則a'ax2=0等式兩邊左乘 x2'得 x2'a'ax2=0所以有 (ax2)'(ax2)=0
所以 ax2=0. [長度為0的實向量必為0向量, 此時用到a是實矩陣]
所以x2是ax=0的解.
故a'ax=0的解是ax=0的解.
綜上知齊次線性方程組ax=0與a'ax=o是同解方程組.
所以 n-r(a) = n-r(a'a)
所以 r(a) = r(a'a).
所以 r(a) = r(a') = r((a')'a') = r(aa').
17樓：胡圖小生
構造方程 1 ax=0
2 aa'x=0
證明1，2同解
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