1樓:匿名使用者
是所有無關解構bai成一個基
du礎解系。ax=0,線性zhi無關解,比如dao說x1,x2,ax1=0,ax2=0,a(x1+x2)=0,所以其和也是該線性方專
程的屬解,所有解全都可以用這組無關解來表示。所以x=k1x1+k2x2+...+knxn
齊次線性方程組基礎解系一定是線性無關嗎
2樓:熙苒
齊次線性方程組基礎解系是方程組解向量空間的極大無關組,當然是線性無關的
有可疑之處就是當方程只有零解時,即解空間只有一個向量----零向量時,此時沒有極大無關組,可認為不存在基礎解系
總的來說,只要有基礎解系,那麼它就是線性無關的。
η1,η2.ηk 是基礎解系.所以η1,η2.η**性無關.
(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)=(η0,η1,η2.ηk )
所以證明(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)無關也就是證明(η0,η1,η2.ηk )無關,
我們知道,如果a1,a2.an無關,而a1,a2.an,β相關,則β可以由a1,a2.an表示,且表示法唯一.
反證法:設(η0,η1,η2.ηk )相關,又因為η1,η2.η**性無關.則η0可以由
η1,η2.η**性表示,且表示法唯一.
顯然,其次方程組ax=0的基礎解系,不一定能表示非其次方程組ax=b的特解.所以矛盾.
(假設非其次方程組一個特解為b,其次方程組通解為k1a1+k2a2,則非其次方程組的通解為
k1a1+k2a2+b,如果b可以被a1,a2表示,則通解可以化為k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2,這其實是其次方程組ax=0的解,而不是非其次方程組ax=b的解)
則(η0,η1,η2.ηk )無關,則(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)無關.
性質1.齊次線性方程組的兩個解的和仍是齊次線性方程組的一組解。
2.齊次線性方程組的解的k倍仍然是齊次線性方程組的解。
3.齊次線性方程組的係數矩陣秩r(a)=n,方程組有唯一零解。
齊次線性方程組的係數矩陣秩r(a)4. n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其係數行列式為零。等價地,方程組有唯一的零解的充要條件是係數矩陣不為零。(克萊姆法則)
3樓:匿名使用者
基礎解系定義問題
齊次線性方程組基礎解系是方程組解向量空間的極大無關組,當然是線性無關的
有可疑之處就是當方程只有零解時,即解空間只有一個向量----零向量時,此時沒有極大無關組,可認為不存在基礎解系
總的來說,只要有基礎解系,那麼它就是線性無關的。
4樓:楊好巨蟹座
η1,η2.ηk 是基礎解系.所以η1,η2.η**性無關.
(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)=(η0,η1,η2.ηk )
所以證明(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)無關也就是證明(η0,η1,η2.ηk )無關,
我們知道,如果a1,a2.an無關,而a1,a2.an,β相關,則β可以由a1,a2.an表示,且表示法唯一.
反證法:設(η0,η1,η2.ηk )相關,又因為η1,η2.η**性無關.則η0可以由
η1,η2.η**性表示,且表示法唯一.
顯然,其次方程組ax=0的基礎解系,不一定能表示非其次方程組ax=b的特解.所以矛盾.
(假設非其次方程組一個特解為b,其次方程組通解為k1a1+k2a2,則非其次方程組的通解為
k1a1+k2a2+b,如果b可以被a1,a2表示,則通解可以化為k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2,這其實是其次方程組ax=0的解,而不是非其次方程組ax=b的解)
則(η0,η1,η2.ηk )無關,則(η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0)無關.
線性無關解和基礎解繫有什麼關係?
5樓:紫濤雲帆
基礎解系是能夠用它的線性組合來表示出某齊次方程組的任意一組解的向量組。
若α1,α2,...,αs是齊次方程ax=0的基礎解系,則α1,α2,...,αs應滿足:
1 α1,α2,...,αs均是方程ax=0的解。
2 α1,α2,...,αs線性無關。
3 s=n-r(a),其中s是解向量的個數,n是未知量的維數,r(a)是係數矩陣a的秩。
若α1,α2,...,αs是方程ax=0的s個線性無關的解,則α1,α2,...,αs滿足以上條件12,但未必滿足條件3,於是可以得出結論:
基礎解系一定是線性無關解,但線性無關解未必能構成基礎解系。
齊次線性方程組秩線性無關可以理解,可為什麼基礎解系也線性無關,而且剛好等於n-r(a)
6樓:俺很不正經
基礎解乘以一個係數相加。。。你可以理解成用基礎解這幾個向量表示一個向量。
向量線性無關才能表示一個向量不是嗎
非齊次線性方程組的特解和基礎解系線性相關嗎?為什麼圖中畫橫線的句子,它有n-r+1個線性無關的解?
7樓:匿名使用者
非齊次線性方程組的特解η與它對應的齊次線性方程組(有的教材稱為「匯出組專」)的基礎解系是屬線性無關的。
下面用反證法證明它:
假設η與ξ1,ξ2,......,ξs線性相關,
∵ξ1,ξ2,......,ξs線性無關,
∴η可由ξ1,ξ2,......,ξs線性相表示,∴存在一組實數k1,k2,......,ks,使得η=k1·ξ1+k2·ξ2+......+ks·ξs兩邊同時乘以a
aη=k1·aξ1+k2·aξ2+......+ks·aξsaη=b
aξ1=0
aξ2=0
......aξs=0
∴b=0
顯然矛盾。
∴假設錯誤,
∴η與ξ1,ξ2,......,ξs線性無關。
進而,η與η+ξ1,η+ξ2,......,η+ξs線性無關,而這些向量都是ax=b的解,
所以,ax=b有n-r+1個線性無關的解。
其次線性方程組的基礎解系一定要線性無關嗎?為什麼?然後將基礎解系
8樓:bluelzy小童鞋
基礎解系線性無關是定義要求,也是為了使得基礎解系不至於重複,倘若基礎解系線性相關,則會使得通解無法得到有效表。,通過線性無關的基礎解系可以得到所有最簡形式通解~
9樓:強維熊小春
基礎解系定義問題
齊次線性方程組基礎解系是方程組解向量空間的極大無關組,當然是線性無關的
有可疑之處就是當方程只有零解時,即解空間只有一個向量----零向量時,此時沒有極大無關組,可認為不存在基礎解系
總的來說,只要有基礎解系,那麼它就是線性無關的。
解下列齊次線性方程組,求下列齊次線性方程組的基礎解系,最好有詳細步驟。
係數矩陣 1 1 5 1 1 版 1 2 3 3 1 8 1 1 3 9 7 作行權初等變換 是主元 1 1 5 1 主行不變0 2 7 4 這行 第1行0 2 7 4 這行 第1行 30 4 14 8 這行 第1行 1 0 3 2 1 這行 第2行 20 2 7 4 主行不變0 0 0 0 這行 ...
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