1樓：明亮的黑色
兩平行線相交於無窮點
以下為引用：
「平行線公理」之爭的終結——黎曼幾何
讓我們先來個邏輯推理：對於「過直線外一點可做其幾條平行線」？歐氏幾何說，只能做一條；羅氏幾何說，至少可以做兩條（包括一組和無數）。那麼還剩什麼情況沒涉及到呢？
很顯然，就是一條都不能做！
而有人沿著這個思路想下去，還真的又創立了一種「非歐幾何」。這個人叫「黎曼」，是德國數學家，所以這種幾何又被稱為「黎曼幾何」。2023年黎曼所作的《論幾何學作為基礎的假設》一文，是「黎曼非歐幾何」誕生的標誌。
那麼黎曼何以認為「過直線外一點一條該直線的平行線也做不出來」呢？
這需要我們再回到球面。我在講羅氏幾何時，就不得不提前告訴大家，圓球上的「直線」是過球心的圓上的「大圓弧」，且這些「直線圓」都是相交的，並建議大家用兩根「赤道圓繩」在地球儀上比劃，以獲得鮮明、生動的「感性認識」。（請參見41頁2027復「羅氏幾何可能在什麼「面」上實現？
」）其實這一思想是黎曼的。
這裡需要注意的是：我們大家所熟悉的地球儀上的「緯線圈」可不是「球面直線」！亦即「緯線圈」及其「圓弧」不是「短程線」（或說「測地線」）。
這是為什麼呢？大家可以就著地球儀觀察一下，凡是「直線圓及其圓弧」，過其上任一點所做的圓球的切面，與這個直線圓或其圓弧都是「垂直」關係！這是球面「直線」和「直線圓」的突出特點。
但緯線圈及其圓弧就無此特點了，你可以任意選一緯線（赤道除外），然後在其上任選一點，過該點做圓球的切面（用本書罩在這點上，使地球儀靠在這書上，就像地球儀靜放在桌面上的書上的狀態一樣即可。這裡只不過移到了空中）。這時你就可明顯地發現，緯線圈與其有關「球切面（書）」是一種「斜交」關係，而非「垂直」關係。
當然，「一段緯線」，即「緯線圓弧」，與其各點「球切面」的關係，亦是「斜交」，而非垂直關係。因此緯線圈及其圓弧不是球面上的「直線」。——由此，旅行時，大家應選擇走「球面直線圓弧」（大圓弧），而不是「沿著緯線走」，這樣你才能真正走「捷徑」！
沿著緯線走其實是「繞遠」、走了彎路了。但「赤道」既是緯線又是球面直線圓，所以在赤道沿著赤道走是最短途徑，是走的「直線」。
下面回到正題：正是由於球上「大圓弧」延長後都是有限、封閉的（都成「圓」），且任何兩個「球面直線圓」都相交，因此黎曼認為球面（如我們的「地球」，曾被看成「平面」）上其實無平行線可言，當然也就更談不到「過直線外一點作其一條或幾條平行線」了。這樣關於歐氏幾何的「第五公設」，到了黎曼這裡，就變成「過直線外一點一條平行線都做不出來」了（這其實也是歐氏第五公設的一個「反命題」）！
而「圓球」是「橢圓球」的特例，我們的地球實際就是個不規則的「橢球體」。關於圓球和各種橢球的關係如下：
橢球是一種二次曲面，是橢圓在三維空間的推廣。橢球在xyz-笛卡兒座標系中的方程是：
其中a和b是赤道半徑（沿著x和y軸），c是極半徑（沿著z軸）。這三個數都是固定的正實數，決定了橢球的形狀。
如果三個半徑都是相等的，那麼就是一個球；如果有兩個半徑是相等的，則是一個類球面。
球； 扁球面（類似塊狀）；
長球面（類似條狀）；
不等邊橢球（「三條邊都不相等」）。
點(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。從原點到這三個點的線段，稱為橢球的半主軸。它們與橢圓的半長軸和半短軸相對應。（摘自「維基百科」，請參見下圖）
因此，黎曼由圓球得出的結論，可以推廣到「橢球」：過橢球心的「橢圓及其圓弧」乃橢球上的「短程線」或說「測地線」，亦即「橢球直線」。同樣這些「直線橢圓」也是相交關係，因此在橢球面上像在圓球面上一樣，也不存在平行線。
黎曼「無平行線」的新幾何提出後，大家一看，他說得有道理啊，「言之成理，持之有故」，可以很好地「自圓其說」，且比羅氏幾何好理解多了，直觀多了，於是很快便接受了「黎曼幾何」。而由於黎曼幾何適用於「橢球面」，所以黎曼幾何又被稱為「橢圓幾何」。
2樓：匿名使用者
你說的是微分幾何吧。
很高興有這個機會向你解釋一下，因為我是學數學的，首先你們老師說的是有點問題的，在非歐幾何中（包括黎曼幾何和羅巴切夫斯基幾何），直線並不是我們現在通常的直線，例如在羅巴切夫斯基幾何中直線就是 一系列起始點在實軸上的半圓周，所以它也叫做「球面幾何」，雖然這跟我們平常的先天直觀不符，但是它也並沒有違背邏輯。
比如在球面幾何上，兩條經線是平行的，但是直觀上他們卻是相交 的。以後有機會就多學學數學吧。
3樓：匿名使用者
黎曼幾何研究的是曲面，比如物理學上的等勢面，化學的濃度梯度這樣一些曲面。
在曲面上，小的範圍內，近似的符合歐幾里得幾何的公理，而大範圍內，則可以不符合。
平行線段是小範圍的，而其延長產生的沿曲面的直線投影可以是相交的。
比如在一個球面上，兩根經線即既是平行的（在赤道）同時也是相交的（在兩極）。
球面只是黎曼幾何的一個特例。也有其他型別的曲面，可以平行線段延長不相交，或者僅某個方向上的平行線段延長不相交，還可以不平行的線段延長不相交。這些特性取決於曲面的特性。
4樓：junior丶
我現在大專，還沒到你說的黎曼幾何，建議你去這個**看下
5樓：不吃蘑菇的羊咩咩
微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。古典微分幾何研究三維空間中的曲線和曲面，而現代微分幾何開始研究更一般的空間----流形。微分幾何與拓撲學等其他數學分支有緊密的聯絡，對物理學的發展也有重要影響。
愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數學基礎。
微分幾何學以光滑曲線(曲面)作為研究物件，所以整個微分幾何學是由曲線的弧線長、曲線上一點的切線等概念的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關性質，則平面曲線在一點的曲率和空間的曲線在一點的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內容，在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點鄰域的性質，常常用所謂「活動標形的方法」。對任意曲線的「小範圍」性質的研究，還可以用拓撲變換把這條曲線「轉化」成初等曲線進行研究。
在微分幾何中，由於運用數學分析的理論，就可以在無限小的範圍內略去高階無窮小，一些複雜的依賴關係可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。
黎曼流形上的幾何學。德國數學家g.f.
b.黎曼19世紀中期提出的幾何學理論。2023年黎曼在格丁根大學發表的題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。
在這篇演說中，黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。他首先發展了空間的概念，提出了幾何學研究的物件應是一種多重廣義量 ，空間中的點可用n個實數（x1，……，xn）作為座標來描述。這是現代n維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現象奠定了基礎。
這種空間上的幾何學應基於無限鄰近兩點（x1，x2，……xn）與（x1+dx1，……xn+dxn）之間的距離，用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函式構成的正定對稱矩陣。這便是黎曼度量。
賦予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。
黎曼認識到度量只是加到流形上的一種結構，並且在同一流形上可以有許多不同的度量。黎曼以前的數學家僅知道三維歐幾里得空間e3中的曲面s上存在誘導度量ds2=edu2+2fdudv+gdv2，即第一基本形式，而並未認識到s還可以有獨立於三維歐幾里得幾何賦予的度量結構。黎曼意識到區分誘導度量和獨立的黎曼度量的重要性，從而擺脫了經典微分幾何曲面論中侷限於誘導度量的束縛，創立了黎曼幾何學，為近代數學和物理學的發展作出了傑出貢獻。
黎曼幾何以歐幾里得幾何和種種非歐幾何作為其特例。例如：定義曲率（截面曲率處處為常數）（a是常數），則當a=0時是普通的歐幾里得幾何，當a>0時 ，就是橢圓幾何，而當a<0時為雙曲幾何。
黎曼幾何為什麼相交線平行
6樓：匿名使用者
黎曼幾何中不存在平行線,因為它的定義就是"過直線外一點,沒有一條直線與已知直線平行",根本就不存在"平行"的概念所以你怎麼能稱作平行?
黎曼幾何為什麼平行線
7樓：柳鯤鵬
參考《黎曼幾何為什麼是對的?為什麼沒有平行線?》
大家都知道，毆氏幾何和非歐幾何的差別，在於對平行線的不同看法上。對於咱們來說，平行線是再明顯不過的，怎麼就會有爭議？
首先，什麼是科學？不好意思，科學本身並不是科學，而是假設。必須明白這一點。
既然是假設，那麼就可以有多種假設。假設本身很難說正確或者錯誤，甚至也不在於是否能夠解釋什麼現象，關鍵就是，是否能自圓其說（比如說，假設1+1=3，就沒法自圓其說）。只要能自圓其說，那麼假設再荒唐，也是科學。
回頭來說，汝可以假設存在平行線，吾亦可以假設不存在平行線，也可以假設存在多條平行線。這沒問題，能夠自圓其說，就是科學。
下面還存在一個關鍵問題：汝怎麼知道平行線在無限處不會相交？
哎，汝這是抬槓怎麼著？這不是明顯的事嗎？平行線怎麼會相交？
明顯？吾怎麼就認為，明顯會相交？汝到無限遠處看過了嗎？
行，算汝狠。汝自己玩吧。
8樓：卓颺君
你想問的是為什麼黎曼幾何中平行線可以相交吧。簡單的舉個例子，地球的兩條平行的經線會有兩個交點，也就是北極點和南極點。黎曼幾何是建立在黎曼空間上的，是比我們日常所處的歐式空間更復雜的曲面空間，事實上，曲面空間才是真實的宇宙。
黎曼幾何為什麼沒有平行線
9樓：帥氣的小宇宙
因為：在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面。
黎曼幾何內容：
黎曼的研究是以高斯關於曲面的內蘊微分幾何為基礎的，在黎曼幾何中，最重要的一種物件就是所謂的常曲率空間，對於三維空間，有以下三種情形：
◆ 曲率恆等於零；
◆ 曲率為負常數；
◆ 曲率為正常數．
黎曼指出：前兩種情形分別對應於歐幾里得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學，而第三種情形則是黎曼本人的創造，它對應於另一種非歐幾何學。黎曼的這第三種幾何就是用命題「過直線外一點所作任何直線都與該直線相交」代替第五公設作為前提，保留歐氏幾何學的其他公理與公設，經過嚴密邏輯推理而建立起來的幾何體系。
這種幾何否認「平行線」的存在，是另一種全新的非歐幾何，這就是如今狹義意義下的黎曼幾何，它是曲率為正常數的幾何，也就是普通球面上的幾何，又叫球面幾何。該文於黎曼去世兩年後的2023年發表。
什麼是黎曼幾何，黎曼幾何是什麼樣？
目前公認的有三種幾何體系 歐氏幾何 羅巴切夫斯機 鮑耶幾何 黎曼幾何，這三種幾何唯一的不同點就在於第五公設的不同。歐氏幾何第五公設是指過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行。而羅氏幾何則不同，它規定了過直線外一點有無數條直線與已知直線平行。這樣三角形的內角和也就小於180度。黎曼從更高的角度統一...
兩條平行線會相交嗎？為什麼
兩條平行線 不會相交。因為平行線的概念是幾何中，在同一平面內，永不相交 也永不重合 的兩條直線叫做平行線。所以兩條平行線永遠不會相交。如下圖所示 直線a平行直線b 在同一平面內，永不相交的兩條直線叫做平行線。平行線一定要在同一平面內定義，不適用於立體幾何，比如異面直線，不相交，也不平行。平行線的定義...
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