1樓：
答：對於問題1：②中為什麼一定要是「對於上面得到的η>0」？
高等數學中函式極限的定義都是由 「ε-δ」語言描述的，例如：函式f（x）在x0處的極限定義：任取ε>0,存在δ>0,使得當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)-a|<ε成立，則f（x）在x0處的極限為a。
這個定義簡單來說：符合「ε-δ」語言，則函式的極限為a
注意：這個定義反過來講也是對的：如果「f（x）在x0處的極限為a」，那麼 「任取ε>0,存在δ>0,使得當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)-a|<ε成立」。
簡單說來，就是函式極限為a，則符合「ε-δ」語言
在「複合函式的極限運演算法則」的證明過程中，其實是反覆的將這個定義，正的用，反的用。
要證複合函式的極限，就相當去證明這個命題：任取ε>0,存在δ>0,使得當0<|x-x0|<δ時，|f[g(x)]-a|<ε成立；是一個真命題就可以了。
開始證明：
由於lim(u→u0)f(u)=a，任取ε>0，都存在η>0,當0<|u-u0|<η時，|f(u)-a|<ε成立——①
又由於lim(x→x0)g(x)=u0,對於上面得到的η>0，存在δ1>0，使得當0<|x-x0|<δ1時，|g(x)-u0|<η成立——②
這兩句話都是將函式極限的定義反著用：函式極限為a，則符合「ε-δ」語言。
在②中出現η它的含義與「ε-δ」語言中的ε都是一樣的，都表示無窮小的數，在函式極限的極限定義中也一定要大於0。 同樣表示無窮小為什麼寫不同的字母呢？
原因關鍵在於：用「ε-δ」語言證明函式的極限時，不同的函式在極限證明中，用到的ε（無窮小）會不相同的。①②中是對不同的函式而言的，因此無窮小需要用不同的字母表示
對於問題（2）「由假設...成立」怎麼就推出了後面的「|f[g(x)]-a|=|f(u)-a|<ε成立」？
「由假設...成立」這裡的假設就是：複合函式極限運演算法則 的前提條件。
準確的我寫不出，自己在書上看吧
關於複合函式的極限運演算法則
2樓：匿名使用者
(1)你已理解,"從證明過程看是需要的".這就對了!事實上,這種需要,是為了不失一般性,為了符合"極限的回
定義"之需要,並不是g（答x）不符合這個條件就不成立了的那種需要.而極限這樣定義,卻是為了研究那些趨於x0而不達到x0之問題,至於達到x0的情況,是比達不到的情況更簡單的.
(2)具體說,你不可能舉出反例.因為當g（x）等於u0時,結論必真.
(3)這樣理解:是為了符合極限定義中"(x-x0)的絕對值》0"之要求,當不符合》0時,極限仍成立,用"連續"的情況來理解:見同濟第五版《高等數學》p61的前7行,再參看p66定理3定理4,應該可以想明白了.
3樓：欲乘風歸去者
我想這個問bai
題也想了很久，du我的看法是這個zhi條件是這個定理的必dao要條件專，沒有這個條件屬這個定理是不成立的，就比如上面那個舉出來的分段函式的反例。這個定理其實關心的是在u0附近的複合函式的取值，至於g（x）=u0時，複合函式的取值則不是這個定理所關心的，因為f（x）可以在這一點連續，不連續，甚至還可以沒有意義，這就導致了複合函式在該點需要另外分析。
4樓：匿名使用者
你可復以這樣想，如果補充一制條性質:對任意的ε大於0,存在δ大於0,當x-xo的絕對值小於δ時，f(x)-a的覺對值小於ε時，f(x)的極限是a。這樣證明你那個問題時就可以去掉g(x)不等於uo這個條件了。
5樓：匿名使用者
極限是種趨勢 與這點的值無關
極限不用管這一點x0 也管不到這一點
lz多看看極限的定義哦
6樓：匿名使用者
你要是學高數復
的 這個基本不制用太關注 數學分析研究bai的深入一些
去心du鄰域的限定使得比如zhi一些點，在dao該點函式無意義，但是該點鄰域內有意義，這樣的該點的極限仍然存在我記不清了，大概是這樣的 ，你可以查閱一些數學分析的書，比如 高教的 數學分析教程
7樓：你好蒼井空
這個是必須的，理論上的東西就不多說，你可以看證明過程。
8樓：才煊風若菱
|令u=g(x)，又u0=lim(x→x0)g(x)
對於a=im(u→u0)f(u)
任意給定ε>0，都存在δ>0，使得當0<|回u-u0|<δ--①時，|f(u)-a]|<ε
對於u0=lim(x→x0)g(x)
即對於上面給定的答δ，存在ξ>0，使得當0<|x-x0|<ξ時，|g(x)-u0|<δ--②
取ρ=min，當0<|x-x0|<ρ時，0<|g(x)-u0|<ρ成立
【即①②兩個不等式同時成立】
即對於極限lim(u→u0)f(u)=a而言
任意給定ε，當0<|u-u0|<ρ，都有|f[g(x)]-a|=|f(u)-a|<ε，從而極限成立
複合函式極限運演算法則的證明過程看不太懂，求幫1 後面由假設開始就全部看不懂 40
9樓：內閣首輔
有|我說一下bai他的證明思路:有一步
du:0＜|u-u0|＜ita時，就有zhi|fu-a|＜ε，這dao
是由極限定義得專來的，很自然。如果要證原命題屬成立，只要證gx進入u0的ita的去心臨域。題幹條件保證gx≠u0,又有極限，保證能進臨域，綜上gx能進去心臨域，完事了。
複合函式的極限運演算法則的定理證明
10樓：匿名使用者
(1)你已理復解,"從證明過程看是制
需要的".這就對了!事實上,這種需要,是為了不失一般性,為了符合"極限的定義"之需要,並不是g（x）不符合這個條件就不成立了的那種需要.
而極限這樣定義,卻是為了研究那些趨於x0而不達到x0之問題,至於達到x0的情況,是比達不到的情況更簡單的.
(2)具體說,你不可能舉出反例.因為當g（x）等於u0時,結論必真.
(3)這樣理解:是為了符合極限定義中"(x-x0)的絕對值
複合函式的極限運演算法則
11樓：是你找到了我
設limf（x），bailimg（x）存在，du且令
則有以下運算zhi
法則：dao
擴充套件資料：
一、兩個重內要極限：
（其中e=2.7182818……，是一個容無理數，也就是自然對數的底數）
二、極限的性質
1、唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數列的相等。
2、有界性：如果一個數列』收斂『（有極限），那麼這個數列一定有界。但是，如果一個數列有界，這個數列未必收斂。例如數列 ：「1，-1，1，-1，……，(-1)n+1」.
12樓：匿名使用者
書上的邏輯是正
copy確的。
注意證明中第一行的【要證…】★
以及第五行的【由於…】☆
其中★是要【證極限】
其中☆是在【用極限】
★是要對任一任意小的正數證明極限定義成立。
☆是已知對【任一個】任意小的正數都有極限定義成立，從而對【這一個g】也有極限定義成立。
退一步說，在情況☆，既然對任意小的都行，
那麼，即使g不是那麼小也行。
或者，如果g不是那麼小，想取一個足夠小的d比g小，證明也行得通。
都行，不影響本質。
複合函式極限運演算法則的定理中，內函式為什麼不能等於其極限值？（同濟高數六版上 48頁）
13樓：匿名使用者
定理6中的條件（簡稱為）「g(x)≠u0」的必要性：
看這個例子：
g(x)=1 (x∈r)，
f(u)為分段函式：當u≠1時，f(u)=u；當u=1時，f(u)=2，
取x0=1，則u0=1，【g(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=a，lim(x→1)f(g(x))=f(1)=2，2≠1，
即lim(x→1)f(g(x))≠a，即定理6的結論不成立。
所以，一定要有條件「g(x)≠u0」。
14樓：匿名使用者
"且存在δ0 >0，當x屬於去心鄰域(x0，δ0)時，有g(x)不等於u0"這句話其實就是說δ0足夠小
見課本p32，定義1及自變數趨於有限值事函式的極限
看了還不明白可以繼續問
15樓：宋盡天良
看到p48倒數第九行的不等式。 若有 當x屬於去心鄰域(x0，δ0)時，有g(x)等於u0，如果f(u)在u=u0不連續，上述提到的不等式不一定成立。
複合函式的運演算法則
16樓：筱o0嗨児
你可以找學弟學妹們借第六版看看
是08屆的都學的第六版
講的比較全面
17樓：匿名使用者
其實這些定理並不是關鍵的，你看看下面的那些習題，估計就會懂的。
複合函式極限運演算法則裡的條件
18樓：欲乘風歸去者
我想這個
問題也想了copy很久，我的看法是這個條件
是這個定理的必要條件，沒有這個條件這個定理是不成立的，就比如上面那個舉出來的分段函式的反例。這個定理其實關心的是在u0附近的複合函式的取值，至於g（x）=u0時，複合函式的取值則不是這個定理所關心的，因為f（x）可以在這一點連續，不連續，甚至還可以沒有意義，這就導致了複合函式在該點需要另外分析。
19樓：我的寶貝
x*sin(1/x)
當x不等於1/nπ時，x趨近於0時，此函式的極限並不是1，還是0，因為一個
無窮向量乘以一內個有界量還是無窮小容量
我想，你肯定是把x*sin(1/x)和（sinx）/x搞混淆啦，前者是x趨於無窮大的極限是1，而後者是x趨於0的極限是1
20樓：light冰楓
你根本也沒有說明白你的f(x)和g(x)是什麼？總之你說的不對；對於x*sin(1/x)它的極限就是0，無論內你取容 x等於或不等於1/nπ時
下面我就給你解釋一下為什麼要強調ψ(x)≠0,
其實是為了強調ψ(x)不能恆等於u0，否則會出現
如ψ(x)=1 (x∈r),f(x)=2 x=1 ; f(x)為分段函式 則顯然lim x→0ψ(x)=1,lim x→0f(ψ(x))=2
=x x≠1 但是lim u→1 f(u)=1≠ lim x→0f(ψ(x))
只要不恆等於u0就可以
如ψ(x)=sin(x),設u0=0,這個就符合這個法則的條件，雖然在（-2π，2π）的去心鄰域中存在ψ(x)=u0的點，看似與定義相悖，但是我們可以找到更小的去心鄰域如（-1/2π，1/2π）,這就不存在ψ(x)=u0的點，再往深裡考慮，對於x0這點只要能夠找到一段很小的鄰域沒有ψ(x)=u0，就符合條件。
同理如果我們能夠找到一段x0的去心鄰域，ψ(x)恆等於u0，則就不符合條件。
21樓：匿名使用者
梳理如下：
第一個問題：一定要有條件「ψ(x)≠u0」。62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333330353632
例①，ψ(x)=1 (x∈r)，
f(u)為分段函式：當u≠1時，f(u)=u；當u=1時，f(u)=2，
取x0=1，則u0=1，【ψ(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=a，lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2，2≠1，
即lim(x→1)f(ψ(x))≠a，即定理1的結論不成立。
第二個問題：關於例子x*sin(1/x)，
首先，這個函式是由兩個函式的乘積構成的：f(x)= x，g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x)，
而不是由兩個函式的複合構成的。
僅從這一點來說，把這個例子用在這裡並不合適。
不過，這其中的第二個函式sin(1/x)是由兩個函式的複合構成的：ψ(x)=1/x，f(u)=sinu。
其次，函式x*sin(1/x)當x→0時的極限確定是0，這是因為一個無窮小量乘以一個有界量還是無窮小量。
這個也可以通過x*sin(1/x)的影象來理解。
所以，關於例子x*sin(1/x)，無論你取 x等於或不等於1/nπ，只要x→0，它的極限就是0。
對此，原問題中的陳述不正確。
從這一點來說，把這個例子用在這裡也不合適。
合適的例子是上面的例①。
第三個問題：細化一下，
在定理1中是說，「在x0的某去心鄰域內ψ(x)≠u0」，
也就是說，是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以。
例如，ψ(x)=sinx (x∈r)，
取x0=0，則u0=0，
【ψ(x)≠u0在x0的某去心鄰域內成立，比如在去心鄰域（-1/2π，1/2π）成立】
【而在x0的以遠，比如在去心鄰域（-2π，2π），ψ(x)≠u0就不成立】
這種情況屬於符合定理1中的條件「在x0的某去心鄰域內ψ(x)≠u0」。
如果不存在這樣的鄰域，則就不符合條件。
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