1樓:匿名使用者
嚴格地bai說,是兩回事,即兩個概念。du導數:zhi講的是「變化率dao」---函式增量與自變專量增量之比的極限(在自屬變數趨於0的情況下),即瞬時變化率。稱為導數。
微分:是函式增量的近似值,即函式增量的線性主部。在計算上,是藉助於導數的運算公式。
學習微積分,搞清概念,是非常重要的。
可以通過兩個概念的引入例子,弄清兩個不同的概念。
2樓:匿名使用者
dy/dx 是同時可以表達導數和微商(函式的微分dy與自變數dx的微分之商) 設函式 y=f(x), f 可導
導數和微分的區別是什麼啊?微分的實質又是什麼?
3樓:7zone射手
(1)起源(bai定義)不
同:導數du起源是函式值隨自變數增量zhi的變dao化率,即△y/△x的極版限.微分起源於微量分析,如△權y可分解成a△x與o(△x)兩部分之和,其線性主部稱微分.
當△x很小時,△y的數值大小主要由微分a△x決定,而o(△x)對其大小的影響是很小的.
(2)幾何意義不同:導數的值是該點處切線的斜率,微分的值是沿切線方向上縱座標的增量,而△y則是沿曲線方向上縱座標的增量.可參考任何一本教材的圖形理解.
(3)聯絡:導數是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f'(x)dx,這裡公式本身也體現了它們的區別.
(4)關係:對一元函式而言,可導必可微,可微必可導.
數學題:導數與微分的本質區別
4樓:安克魯
1、一元函式,可導就是可微,沒有本質區別,完全是一個意思的兩種表述:
可導強調的是曲線的斜率、變數的牽連變化率;
可微強調的是可以分割性、連續性、光滑性。
dx、dy: 可微性; dy/dx: 可導性
dy = (dy/dx)dx, 在工程應用中,變成: δy = (dy/dx)δx
這就是可導、可微之間的關係:
可導 = 可微 = differentiable。
導數 = 微分 = differentiation,derivative
不可導 = 不可微 = undifferentiable
【說穿了,可以說是中文在玩遊戲,也可以說中文概念更精確性】
2、二元和二元以上的多元函式有偏導(partial differentiation)的概念,
有全導數、全微分(total differentiatin)的概念。
【說穿了,可以說也是中文在玩遊戲,也可以說中文概念更有思辯性】
多元函式有方向導數(directional differentiation/derivative)的概念
一元函式,無所謂偏導、全導,也沒有全微分、偏微分、方向導數的概念。
3、對於多元函式,沿任何座標軸方向的導數都是偏導數,
a、沿任何特定方向的導數都是方向導數。
b、方向導數取得最大值的方向導數就是梯度(gradient)。
c、英文中有全導數的概念(total differentian),只是我們的教學不太習慣
這樣稱呼,我們習慣稱為全微分,其實是完全等同的意思。
一元函式沒有這些概念。偏導就是全導,全導就是偏導。
4、dx、dy、du都是微分,只有在寫成du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy時,
du才是全微分,而dx、dy就是偏微分,只是我們不習慣這樣講罷了。
而∂f、∂x、∂y還是微分的概念,是df、dx、dy在多元函式中的變形。
x的單獨變化會引起u的變化,du=(∂f/∂x)dx
y的單獨變化會引起u的變化,du=(∂f/∂y)dy
其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函式f分別對x,y的偏導數。
∂f/∂x 就是由於x的變化單獨引起的f的變化率,部分原因引起,為「偏」;
∂f/∂y 就是由於y的變化單獨引起的f的變化率,部分原因引起,為「偏」。
x、y同時變化,引起u的變化是:
du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
這就是全微分,所有原因共同引起為「全」。
總而言之,言而總之:
對一元函式,可導與可微沒有本質區別;
對多元函式,可微是指所有方向可以偏導,可微的要求更高。
5樓:匿名使用者
廢話都可以有,為什麼不可以整理一下別人的言論?下面是我搜集整理的一些答案,基本滿足樓主的要求!
導數(derivative)亦名微商,由速度問題和切線問題抽象出來的數學概念。又稱變化率。如一輛汽車在10小時內走了 600千米,它的平均速度是60千米/小時,但在實際行駛過程中,是有快慢變化的,不都是60千米/小時。
為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況,可以縮短時間間隔,設汽車所在位置x與時間t的關係為x=f(t),那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0],當 t1與t0很接近時,汽車行駛的快慢變化就不會很大,平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內的運動變化情況 ,自然就把極限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度,這就是通常所說的速度。一般地,假設一元函式 y=f(x )在 x0點的附近(x0-a ,x0 +a)內有定義,當自變數的增量δx= x-x0→0時函式增量 δy=f(x)- f(x0)與自變數增量之比的極限存在且有限,就說函式f在x0點可導,稱之為f在x0點的導數(或變化率)。若函式f在區間i 的每一點都可導,便得到一個以i為定義域的新函式,記作 f′,稱之為f的導函式,簡稱為導數。
函式y=f(x)在x0點的導數f′(x0)的幾何意義:表示曲線l 在p0〔x0,f(x0)〕 點的切線斜率。
導數是微積分中的重要概念。導數定義為,當自變數的增量趨於零時,因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時,稱這個函式可導或者可微分。
可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。
區別 雖然在計算上 二者可以近似相等 但數學意義是不同的 導數又叫做微分商 顧名思意 它是兩個微分相除。可以理解為 曲線的變化率 而微分則可以理解為曲線的變化量 一個是率 一個是在面積上的積累量 所以不同 數學是嚴謹的學科 既然是不同的名詞 就一定有不同的意義
對於一元函式y=f(x)而言,導數和微分沒什麼差別。導數的幾何意義是曲線y=f(x)的瞬時變化率,即切線斜率。微分是指函式因變數的增量和自變數增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x),這裡可以把自變數x看成是關於自身的函式y=x,那麼△x=△y,所以微分另一種說法叫微商,dy/dx是兩個變數的比值。
一般來說,dy/dx=y'。
對於多元函式,如二元函式z=f(x,y)而言,導數變成了關於某個變數的偏導數。此時,微分符號dz/dx是個整體,不能拆開理解。而且,有個重要區別,可導不一定可微。
即可導是可微的必要非充分條件。但是,有定理,若偏導數連續則函式可微。具體看全微分與偏導數有關章節.
6樓:華胥·槐陌
對於一元函式下的微分,由△y=a△x+0(x),記得dy=a△x,a即為其相對應的導。對於函式f(x),在某點處可導是其可微的充要條件。也可以說導數是相應函式微分dy與自變數微分dx的商。
所以導數又稱微商。而對於兩者的幾何意義而言,導數是函式在過相應點切線的斜率,而相應微分就是這條切線縱座標的改變數。
導數強調的是一種變化率,而微分是對於變化量的解讀。
而對於多元函式之下的偏導數和全微分,又有些微的區別。
以二元函式為例,f(x+△x,y)-f(x,y)≈fx(x,y)△x【對x的偏微分】(當然另外還有對y的偏微分)。x,y均改變的情況下產生的函式改變數成為全增量,這種情況下產生了全微分。
對於二元函式z=f(x,y)在點(x,y)處可微分(全微分),那麼在此點就有偏導數,且在此點沿任意方向的方向導數(偏導數也可以說是方向導數中的特例)均存在。而偏導數在此點處連續才能得到可微分。
進一步,也即是說偏導數是全微分的必要不充分條件。
此種情況下看,可微分的條件更為嚴苛。
其實我們也可以將一元函式中的導數和微分看做是一種特殊的全導和全微,因為它研究的基礎是平面的,變化也是單一的。
7樓:匿名使用者
對於一元函式y=f(x)而言,導數和微分沒什麼差別。導數的幾何意義是曲線y=f(x)的瞬時變化率,即切線斜率。微分是指函式因變數的增量和自變數增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x),這裡可以把自變數x看成是關於自身的函式y=x,那麼△x=△y,所以微分另一種說法叫微商,dy/dx是兩個變數的比值。
一般來說,dy/dx=y'。
對於多元函式,如二元函式z=f(x,y)而言,導數變成了關於某個變數的偏導數。此時,微分符號dz/dx是個整體,不能拆開理解。而且,有個重要區別,可導不一定可微。
即可導是可微的必要非充分條件。但是,有定理,若偏導數連續則函式可微。具體看全微分與偏導數有關章節。
給點分吧
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8樓:匿名使用者
雖然在計算上 二者可以近似相等 但數學意義是不同的 導數又叫做微分商 顧名思意 它是兩個微分相除。可以理解為 曲線的變化率 而微分則可以理解為曲線的變化量 一個是率 一個是在面積上的積累量 所以不同 數學是嚴謹的學科 既然是不同的名詞 就一定有不同的意義.導數刻劃了函式的瞬時變化率,而微分則表示了函式的瞬時變化量。
導數是研究函式在一點處變化的快慢程度(變化率)。在均勻變化情況下,需用除法計算的量,在非均勻變化的情況下,往往可用導數來計算,因此,導數可看作初等數學中商(除法)的推廣;積分是研究函式在某一區間內變化的大小,它可看作初等數學中積(乘法)的推廣。
下面給你一些題目(附答案):
9樓:_**愛到要吐
導數亦名紀數、微商,由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數學概念。又稱變化率。
導數定義為:當自變數的增量趨於零時,因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時,稱這個函式可導或者可微分。可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。
如一輛汽車在10小時內走了 600千米,它的平均速度是60千米/小時,但在實際行駛過程中,是有快慢變化的,不都是60千米/小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況,可以縮短時間間隔,設汽車所在位置s與時間t的關係為s=f(t),那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0],當 t1與t0很接近時,汽車行駛的快慢變化就不會很大,平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內的運動變化情況 ,自然就把極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度,這就是通常所說的速度。一般地,假設一元函式 y=f(x )在 x0點的附近(x0-a ,x0 +a)內有定義,當自變數的增量δx= x-x0→0時函式增量 δy=f(x)- f(x0)與自變數增量之比的極限存在且有限,就說函式f在x0點可導,稱之為f在x0點的導數(或變化率)。
若函式f在區間i 的每一點都可導,便得到一個以i為定義域的新函式,記作 f',稱之為f的導函式,簡稱為導數。函式y=f(x)在x0點的導數f'(x0)的幾何意義:表示曲線l 在p0〔x0,f(x0)〕 點的切線斜率。
一般地,我們得出用函式的導數來判斷函式的增減性的法則:設y=f(x )在(a,b)內可導。如果在(a,b)內,f'(x)>0,則f(x)在這個區間是單調增加的。。
如果在(a,b)內,f'(x)<0,則f(x)在這個區間是單調減小的。所以,當f'(x)=0時,y=f(x )有極大值或極小值,極大值中最大者是最大值,極小值中最小者是最小值。
導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率。
導數另一個定義:當x=x0時,f』(x0)是一個確定的數。這樣,當x變化時,f'(x)便是x的一個函式,我們稱他為f(x)的導函式(derivative function)(簡稱導數)。
微分定義為:若函式y = f(x)在x0處的改變數δy可以表示為δx的線性函式aδx與一個比δx高階無窮小量的和,即δy = aδx + o(δx)那麼稱函式f(x)在點x0是可微的,其中aδx稱為函式f(x)在x0處的微分,記作dy,即dy = aδx。
若函式f(x)在點x0是可微,按定義則有:δy = aδx + o(δx)兩端除以δx,取δx趨近於0時的極限可得a=f『(x),即f(x)在點x0處是可導的。反之若f(x)在點x0處可導,根據極限與無窮小的關係,可得δy = aδx + o(δx)。
可見在x0處可導與可微是等價的。
自變數x的微分dx=(x)『δx=δx,於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。因此,導數也叫做微商。
幾何意義
設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時,|δy-dy|比|δy|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。
從兩者概念的不同可以看出本質的不同。聯絡就是dy = f'(x)dx
導數與微分的區別,導數和微分的區別
對一個函式積復分和對它微分,制 這兩個運算互為逆運算。求原函式的過程是不定積分 運算 求導的過程是微分運算。一個函式的微分與它的導數也略有區別,微分是函式的線性增量 變化 而導數是函式的變化率 也就是函式值變化 自變數變化 導數和微分的區別?導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標增量 y 和橫...
微分和導數有什麼區別，導數和微分的區別？
在數學中，微分是對函式的區域性變化率的一種線性描述。微分可以近似內地描述當函式自變數的容取值作足夠小的改變時，函式的值是怎樣改變的。導數 derivative 是微積分中的重要基礎概念。當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。可導...
微分和導數有什麼區別微分與導數有什麼區別
導數和微分的區別 一個是比值 一個是增量。1 導數是函式影象在某一點處的斜率，也就是縱座標增量 y 和橫座標增量 x 在 x 0時的比值。2 微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量 x以後，縱座標取得的增量，一般表示為dy。擴充套件資料 設函式y f x 在x的鄰域內有定義，x及x x在此...