1樓：綠鬱留場暑
導數和微分的區別
一個是比值、一個是增量。
1、導數是函式影象在某一點處的斜率，也就是縱座標增量（δy）和橫座標增量（δx）在δx-->0時的比值。
2、微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後，縱座標取得的增量，一般表示為dy。
擴充套件資料：
設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)（其中a是不隨δx改變的常量，但a可以隨x改變），而o(δx)是比δx高階的無窮小（注：o讀作奧密克戎，希臘字母）那麼稱函式f(x)在點x是可微的。
且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分，記作dy，即dy = aδx。函式的微分是函式增量的主要部分，且是δx的線性函式，故說函式的微分是函式增量的線性主部（△x→0）。
通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函式因變數的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。
因此，導數也叫做微商。
當自變數x改變為x+△x時，相應地函式值由f(x)改變為f(x+△x)，如果存在一個與△x無關的常數a，使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差是△x→0關於△x的高階無窮小量，則稱a·△x是f(x)在x的微分，記為dy，並稱f(x)在x可微。一元微積分中，可微可導等價。
記a·△x=dy，則dy=f′(x)dx。例如：d(sinx)=cosxdx。
微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小區域性可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函式的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函式的數值計算結果作為本來函式的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。
推導設函式y = f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函式的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示為δy = aδx + o(δx)，其中a是不依賴於△x的常數， o(δx)是△x的高階無窮小，則稱函式y = f(x)在點x0是可微的。
aδx叫做函式在點x0相應於自變數增量△x的微分，記作dy，即：dy=aδx。微分dy是自變數改變數△x的線性函式，dy與△y的差是關於△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。
得出： 當△x→0時，△y≈dy。
導數的記號為：(dy)/(dx)=f′(x)，我們可以發現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變數的增量等於自變數的微分），還可表示為dy=f′(x)dx。
[4]
幾何意義
設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量，δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量，dy是曲 線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時，|δy－dy|比|δx|要小得多(高階無窮小)，因此在點m附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。
2樓：王王王小六
1、定義不同
導數又名微商，當函式y=f（x）的自變數x在一點x0上產生一個增量δx時，函式輸出值的增量δy與自變數增量δx的比值在δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數。
微分在數學中的定義：由函式b=f(a)，得到a、b兩個數集，在a中當dx靠近自己時，函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。
2、本質不同
導數是描述函式變化的快慢，微分是描述函式變化的程度。導數是函式的區域性性質，一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。而微分是一個函式表示式，用於自變數產生微小變化時計算因變數的近似值。
3、幾何意義不同
導數的幾何意義是切線的斜率，微分的幾何意義是切線縱座標的增量。因此微分可以用來做近似運算和誤差估計。最簡單的一元情況下，導數是一個確定的數值，幾何意義是切線斜率，物理意義是瞬時速度。
3樓：匿名使用者
(1)起源（定義）不同：導數起源是函式值隨自變數增量的變化率，即△y/△x的極限。微分起源於微量分析，如△y可分解成a△x與o(△x)兩部分之和，其線性主部稱微分。
當△x很小時，△y的數值大小主要由微分a△x決定，而o(△x)對其大小的影響是很小的。
(2)幾何意義不同：導數的值是該點處切線的斜率，微分的值是沿切線方向上縱座標的增量，而△y則是沿曲線方向上縱座標的增量。可參考任何一本教材的圖形理解。
(3)聯絡：導數是微分之商（微商）y' =dy/dx, 微分dy=f'(x)dx，這裡公式本身也體現了它們的區別。
(4)關係：對一元函式而言，可導必可微，可微必可導。
4樓：一向都好
導數是函式上切點的斜率
k=tan(y/x)
而這裡的y是△y減去微小的部分
剩下的就是dy,
所以k=dy/dx
這裡的dx就是△x，並沒有像△y那樣，還要減去一小部分如圖（dy就是微分，斜率就是導數）
5樓：匿名使用者
導數是△y/△x的近似
微分是△y的近似
這樣好理解了嗎
6樓：史朝東樂安
從幾何意義上說，導數是
曲線某點切線的
斜率，而
微分則是某點切線
因變數y的微小增量。
從可導或可微方面說，可導即可微，可微即可導。
7樓：匿名使用者
對一元函式而言，微分與導數可以看作是一致的，可微必可導，可導必可微，但對於多元函式來說，就不一致了，這時是可微必可導，可導不一定可微。
微分與導數有什麼區別
8樓：鍾全婁卯
對於一元函式y=f(x)而言，導數和微分沒什麼差別。導數的幾何意義是曲線y=f(x)的瞬時變化率，即切線斜率。微分是指函式因變數的增量和自變數增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x)，這裡可以把自變數x看成是關於自身的函式y=x，那麼△x=△y,所以微分另一種說法叫微商，dy/dx是兩個變數的比值。
一般來說，dy/dx=y'。
對於多元函式，如二元函式z=f(x,y)而言，導數變成了關於某個變數的偏導數。此時，微分符號dz/dx是個整體，不能拆開理解。而且，有個重要區別，可導不一定可微。
即可導是可微的必要非充分條件。但是，有定理，若偏導數連續則函式可微。具體看全微分與偏導數有關章節。
9樓：匿名使用者
在一元函式的範圍內，導數與微分是沒有區別的，根據他們的定義我們就可以得到
△y=f'(x)△x+o(△x)
△y=dy+o(△x)
且 dy/dx=f'(x)
所以有人把導數也稱作為微商，用來跟微分對應，這是沒有問題的。
導數的可導、微分、連續性的聯絡
當f(x)在x0處可導等價於f(x)在x0處可微；
f(x)在x0處可微可以推出f(x)在x0處連續，但是f(x)在x0處連續不能推出f(x)在x0處可導（可微）
10樓：野哲張廖涵山
1定義不同：導數起源是函式值隨自變數增量的變化率,即△y/△x的極限.微分起源於微量分析,如△y可分解成a△x與o(△x)兩部分之和,其線性主部稱微分.
當△x很小時,△y的數值大小主要由微分a△x決定,而o(△x)對其大小的影響是很小.
2幾何意義不同：導數的值是該點處切線的斜率,微分的值是沿切線方向上縱座標的增量,而△y則是沿曲線方向上縱座標的增量.可參考任何一本教材的圖形理解
3關係:對一元函式而言,可導必可微,可微必可導4聯絡:導數是微分之商（微商）y'
=dy/dx,微分dy=f'(x)dx,這裡公式本身也體現了它們的區別.
導數和微分的區別？
11樓：月下者
導數是函式影象在某一點處的斜率，也就是縱座標增量（δy）和橫座標增量（δx）在δx-->0時的比值。微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後，縱座標取得的增量，一般表示為dy。
導數是函式影象在某一點處的斜率，也就是縱座標變化率和橫座標變化率的比值。微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得δx以後，縱座標取得的增量。
擴充套件資料
微分在數學中的定義：由函式b=f(a)，得到a、b兩個數集，在a中當dx靠近自己時，函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。
微積分的基本概念之一。
設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + δx在此區間內。
如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)（其中a是不依賴於δx的常數），而o(δx)是比δx高階的無窮小（注：o讀作奧密克戎，希臘字母）那麼稱函式f(x)在點x是可微的，且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分，記作dy，即dy = aδx。
函式的微分是函式增量的主要部分，且是δx的線性函式，故說函式的微分是函式增量的線性主部（△x→0）。
參考資料
12樓：匿名使用者
導數和微分的區別一個是比值、一個是增量。
1、導數是函式影象在某一點處的斜率，也就是縱座標增量（δy）和橫座標增量（δx）在δx-->0時的比值。
2、微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後，縱座標取得的增量，一般表示為dy。
擴充套件資料：
微分應用：
1、我們知道，曲線上一點的法線和那一點的切線互相垂直，微分可以求出切線的斜率，自然也可以求出法線的斜率。
2、假設函式y=f(x)的圖象為曲線，且曲線上有一點(x1,y1)，那麼根據切線斜率的求法，就可以得出該點切線的斜率m：m=dy/dx在(x1,y1)的值，所以該切線的方程式為：y-y1=m(x-x1)。
由於法線與切線互相垂直，法線的斜率為-1/m且它的方程式為：y-y1=(-1/m)(x-x1)
3、增函式與減函式
微分是一個鑑別函式（在指定定義域內）為增函式或減函式的有效方法。
鑑別方法：dy/dx與0進行比較，dy/dx大於0時，說明dx增加為正值時，dy增加為正值，所以函式為增函式；dy/dx小於0時，說明dx增加為正值時，dy增加為負值，所以函式為減函式。
4、變化的速率
微分在日常生活中的應用，就是求出非線性變化中某一時間點特定指標的變化。
在t=3時，我們想知道此時水加入的速率，於是我們算出dv/dt=2/(t+1)^2，代入t=3後得出dv/dt=1/8。
所以我們可以得出在加水開始3秒時，水箱裡的水的體積以每秒1/8升的速率增加。
微分和導數有什麼區別，導數和微分的區別？
在數學中，微分是對函式的區域性變化率的一種線性描述。微分可以近似內地描述當函式自變數的容取值作足夠小的改變時，函式的值是怎樣改變的。導數 derivative 是微積分中的重要基礎概念。當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。可導...
導數與微分的區別,導數和微分的區別
對一個函式積復分和對它微分,制 這兩個運算互為逆運算。求原函式的過程是不定積分 運算 求導的過程是微分運算。一個函式的微分與它的導數也略有區別,微分是函式的線性增量 變化 而導數是函式的變化率 也就是函式值變化 自變數變化 導數和微分的區別?導數是函式影象在某一點處的斜率,也就是縱座標增量 y 和橫...
微分和微商導數的本質區別,導數和微分的區別是什麼啊微分的實質又是什麼
嚴格地bai說,是兩回事,即兩個概念。du導數 zhi講的是 變化率dao 函式增量與自變專量增量之比的極限 在自屬變數趨於0的情況下 即瞬時變化率。稱為導數。微分 是函式增量的近似值,即函式增量的線性主部。在計算上,是藉助於導數的運算公式。學習微積分,搞清概念,是非常重要的。可以通過兩個概念的引入...