1樓:匿名使用者
你的疑慮是有道理的,不過題中開頭一句話已經明確說明了o到a的軌跡是在「第一象限」中,所以排除了你擔憂的情況
2樓:精銳教育彭老師
其實是一樣的,注意用對稱性簡化對弧長的曲線積分的運算。若是從x軸下方由o點到a點,就是對了一個小圓的區域,但是這個圓關於x周是對稱的,這部分的積分為零。所以無論從軸上方還是下方的結果應該是一樣的。
3樓:
放個小人沿著封閉區域邊線走,保持封閉區域在小人的左側
高數曲線積分格林公式應用 補線法,求解!
4樓:墨汁諾
1、補充線段y=0,構成封閉曲線
利用格林公式化為二重積分
結果=封閉曲線圍成的半圓的面積
y=0代入
dy=0
siny=0
整個曲線積分=0
2、新增y軸上從2到0的這一段,記為l1,設三條線圍成的區域為d,
用格林公式做。
設p=3xxy,q=(xx+x-2y),
則p'y=q'x=3xx。
原式=∫〔l〕...+∫〔l1〕...-∫〔l1〕...=∫∫〔d〕0dxdy-∫〔2到0〕-2ydy=-4。
格林公式給出的是第二類曲線積分和二重積分的關係嗎
5樓:南瓜蘋果
格林公式描述了二重積分和第二類曲線積分之間的一種關係。
在區域中一個重要的概念是閉區域。在一維空間中,[-1,2]就是一個閉區域,即閉區域包含區間的兩端邊界點和內部。在二維空間內,閉區域則由一段閉合曲線和曲線所圍成的內部區域組成。
平面區域與閉區域的區別是:平面區域不一定包含區域的邊界,但是閉區域一定包含區域的邊界。平面區域d又分為單連通域和復連通域。
如果平面區域d內任意一條閉合曲線所圍成的區域只包含d內的點,則該平面區域為單連通域,否則為復連通域。
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以二維空間為例進行說明。當沿著平面區域的邊界線走時,若平面區域在左邊,則此方向為正向的邊界曲線。
如果格林公式等式右邊等於0,則格林公式與物理上的勢場之間存在著緊密聯絡。
物體在勢場中,場力對物體做的功與物體移動路徑無關,只與物體起點和終點的空間位置有關。
第二類曲線積分在一定程度上可以用變力做功來解釋,與現實中的勢場對應,曲線積分也應存在類似規律,即曲線積分與路徑無關。
6樓:匿名使用者
哥們給你都說了吧:
第一類曲線積分,可以通過將ds轉化為dx或dt變成定積分來做,但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關係,只有通過轉化為第二類曲線積分後,要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件,可以用公式轉化為簡單的曲面積分,再將曲面積分投影到座標面上轉化為二重積分來計算,這是第一類曲線積分和二重積分關係,但是第一類曲線積分和三重積分麼有任何關係......
第一類曲面積分,可以通過公式變換,將ds轉化為dxdy,直接轉化為二重積分來做,但是和三重積分沒有任何關係,只有通過轉化為第二類曲面積分,滿足了高斯公式條件,才能用高斯公式轉化為三重積分來計算
曲線積分與定積分,曲面積分與二重積分的區別:曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式,意思是在曲線上或曲面上進行積分的,而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz座標上進行積分,所以要將第一類曲線積分,第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz座標進行積分,另外既然給定了曲線或曲面方程,就可以根據方程把一個量表示成其他的兩個量的關係,因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的,所以要滿足給定的曲線或曲面的方程,所以各個量之間可以代換的,這個普通的定積分和二重積分不能這麼做的......
第一類曲線積分:對線段的曲線積分,有積分順序,下限永遠小於上限......求解時米有第二類曲線積分簡單,需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式,進行積分,這個公式書裡面有的,就是對引數求導,然後再表示成平分和的根式......
第二類曲線積分:對座標的曲線積分,沒有積分順序,意思是積分上下限可以顛倒了......
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關係:可以用餘弦進行代換,餘弦值指的是線段的切向量,這個書本里面的,我就不寫了
第一類曲面積分:對面積的曲面積分,求解時要通過給定的曲面方程形式,轉化成x與y的形式,這個公式書裡面也有的,就是求偏導吧?然後表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分:對座標的曲線積分,這個簡單一些,好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯絡:可以用餘弦代換,但是這個餘弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯絡,方便你記憶:都是要轉化成在xyz座標面上的積分,都是平方和的根式形式,但是第一類曲線積分是對引數求導,第一類曲面積分是求偏導,為何都是平方和的根式形式?原因是在微段或微面上用直線代替曲線,相當於正方體求對角線,你想想是不是,肯定要出現平方和的根式,好看看推導過程......
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關係:
第二類曲線積分如果封閉的話,可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話,可以用高斯公式進行化簡
這些東西很有趣的,你要學會對應的記憶啊......
格林公式研究的是把平面第二類曲線積分轉化為二重積分來做,但是要注意正方向的選取,以及平面單連通和平面復連通,有時需要取輔助線構成封閉曲線的,但是要計算輔助曲線的曲線積分,因為此時的格林公式值是由兩條曲線疊加後產生的,這個很重要,因為積分與路徑無關都要涉及到平面復連通和單連通的計算......
是不是格林公式可以直接用來計算第二類曲線積分?但是不可以直接計算第一類曲線積分?
7樓:柯西的彷徨
對的 格林公式可以解決一部分第二類曲線積分必須是閉曲線上的第二類曲線積分
第一類閉曲線積分也可以用格林公式求解
不過要先把第一類曲線積分化為第二類曲線積分
怎樣用曲線積分求星形線的面積
8樓:匿名使用者
用曲線積分求星形線的面積的方法:
根據第二類曲線積分和格林公式,
所求的面積:s=∫∫dxdy=∫l xdy=∫(0->2π) a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3πa^2)/8
注:格林公式如下:
例題:用曲線積分計算星形線x=cos^3t,y=sin^3t,其中(0轉化為第二類曲線積分用格林公式推廣式做,即由推出a=1/2(∫xdy-ydx)。
那麼這個星形線的面積就可以表示為s=1/2∫【0,2π】(3cos^4sin^2+3sin^4cos^2dt,接下來只需要算一個定積分即可,最後化簡出來是3/2∫【0,2π】(1/8—1/8cos4t)dt,算出來s=3π/8。
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格林公式描述了平面上沿閉曲線l對座標的曲線積分與曲線l所圍成閉區域d上的二重積分之間的密切關係。 一般用於二元函式的全微分求積。
設d為平面區域,如果d內任一閉曲線所圍的部分割槽域都屬於d,則d稱為平面單連通區域。直觀地說,單連通區域是沒有空間的區域,否則稱為復連通區域。
當xoy平面上的曲線起點與終點重合時,則稱曲線為閉曲線。設平面的閉曲線l圍成平面區域d,並規定當一個人沿閉曲線l環行時,區域d總是位於此人的左側,稱此人行走方向為曲線l關於區域d的正方向,反之為負方向。
在平面閉區域d上的二重積分,可通過沿閉區域d的邊界曲線l上的曲線積分來表達;或者說,封閉路徑的曲線積分可以用二重積分來計算。
如區域d不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分割槽域,使得每個部分割槽域適合上述條件,仍可證明格林公式成立。
注意:對於復連通區域d,格林公式的右端應包括沿區域d的全部邊界的曲線積分,且邊界方向對區域d來說都是正向。
格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯絡,因此其應用十分地廣泛。
9樓:車掛怒感嘆詞
[最佳答案] 用曲線積分求星形線的面積的方法:根據第二類曲線積分和格林公式,所求的面積:s=∫∫dxdy=∫l xdy=∫(0->2π) a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3πa^2)/8 注:
格林公式...
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