1樓：潛心篤志丶
證明值域空間和零空間正交，需汪凱脊要證明以下兩個結論：
1、值域空間和零空間是正交的：即值域空間和零空困滲間的所有向量之間滿足正交條件，即任意兩個向量的內積等於0。
2、值域空間和零空間都是線性無關的：即值域空間和零空間分別由線性無關的向量所組成，不存在某個向量可以由其他向量線性表示的情況。
為了證明以上兩個結論，我們可以假設乙個矩陣a，它的行空間為值域空間，列空間為零空間，對於任意兩個向量x∈值域空間，y∈零空間，有：
ax=0；aty=0；
則有：xty=ytx=0，說明值域空間和零空間的任意兩個向量之間滿足正交條件，即值域空間和零空間是正交的。
而值域空間和零孫罩空間都是線性無關的，可以由以下理論證明：
若a的行空間（值域空間）和列空間（零空間）中的任意乙個向量都可以由另乙個向量線性表示，則a的行秩等於a的列秩，而a的秩不可能大於a的行數或列數，即a的行秩不可能等於a的列數，從而值域空間和零空間都是線性無關的。
由以上分析可以得出，值域空間和零空間正交的結論是正確的。
2樓：亨你所想
值域空間與零空間正交的證明方法有三種：
1、藉助矩陣分解的方法：假設給定的一組向量組成的集合為v，將v分解為兩個子集v1和v2，分別組成值域空間和零空間，任意向量v∈v可以通過v=v1+v2的形式表示出來，殲畢喚其中v1∈v1，v2∈v2，則v1和v2的向量組成的子集是正交的。
2、藉助內積的方法：若v1和v2是正交的，則任意u∈v1，v∈v2，則有？u，v?=0，即內積等於零，也證明了v1和v2正交。
3、藉助投影的方法：投影就是將乙個向量投影到另乙個向量上，若v1和v2正交，則任意u∈v1，v∈v2，則有∥uhv∥=0，即u投氏凱影到v上，投影值為零，也證數廳明瞭v1和v2正交。
以上就是值域空間和零空間正交的三種證明方法。
請求幫助，矩陣的值域空間是什麼，值域空間的正交空間是什麼？求教
3樓：網友
這裡涉及到矩陣的四個基本空間，即矩陣a的值域空間，零空間和矩陣a』的值域空間和零空間。\
設a是m*n的矩陣，稱其列向量構成的子空間為a的值域空間，r（a），即任意n*1維的向量x,有ax=b,b是a值域空間中的乙個元素，所有的b構成了a的值域空間。a的零空間由所有滿足方程ax=0的x構成，n（a）。同理我們也可以得到a『的值域空間和零空間。
關於正交空間，其定義為：設m是內積空間v的子空間，n為m的正交空間，那麼n中的任意向量均與m中的任意向量正交，即。
n=矩陣a的值域空間的正交空間是其轉置a'的零空間。證明如下：
設x屬於r（a）的正交空間，那麼便存在=0,此處的ay用於表示r（a）,進而可以得到：y'a'x=0,此處用到了轉置的運算性質（ab）』=b『a』。而根皮跡知盯據y'a'x=0，我們可以得到=0，由y取值的任意性，我們可以得到a'x=0,即x屬於燃猛並a』的零空間n（a'），進而得到r（a）的正交空間是n（a'）的結論。
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