1樓：而
第二章函式函式的奇偶性與週期性
高考要求
瞭解函式奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函式的奇偶性的方法 掌握函式的奇偶性的定義及圖象特徵，並能判斷和證明函式的奇偶性，能利用函式的奇偶性解決問題
知識點歸納
1 函式的奇偶性的定義；
2 奇偶函式的性質：
（1）定義域關於原點對稱；（2）偶函式的圖象關於 軸對稱，奇函式的圖象關於原點對稱；
3 為偶函式
4 若奇函式 的定義域包含 ，則
5 判斷函式的奇偶性，首先要研究函式的定義域，有時還要對函式式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響；
6 牢記奇偶函式的圖象特徵，有助於判斷函式的奇偶性；
7 判斷函式的奇偶性有時可以用定義的等價形式：
， 8 設 ， 的定義域分別是 ，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇
1 判斷函式的奇偶性，必須按照函式的奇偶性定義進行，為了便於判斷，常應用定義的等價形式：f(x)= f(x)f(x) f(x)=0；
2 討論函式的奇偶性的前提條件是函式的定義域關於原點對稱，要重視這一點；
3 若奇函式的定義域包含0，則f(0)=0,因此，「f(x)為奇函式」是"f(0)=0"的非充分非必要條件；
4 奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱，因此根據圖象的對稱性可以判斷函式的奇偶性
5 若存在常數t，使得f(x+t)=f(x)對f(x)定義域內任意x恆成立，則稱t為函式f(x)的週期，一般所說的週期是指函式的最小正週期 周期函式的定義域一定是無限集
對函式奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質是：函式的定義域關於原點對稱 這是函式具備奇偶性的必要條件 稍加推廣，可得函式f(x)的圖象關於直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立 函式的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映
這部分的難點是函式的單調性和奇偶性的綜合運用 根據已知條件，調動相關知識，選擇恰當的方法解決問題，是對學生能力的較高要求
（5）函式的週期性
定義：若t為非零常數，對於定義域內的任一x，使 恆成立
則f(x)叫做周期函式，t叫做這個函式的一個週期
例：（1）若函式 在r上是奇函式，且在 上是增函式，且
則① 關於 對稱；② 的週期為 ；
③ 在（1，2）是 函式（增、減）；
④ = ，則
（2）設 是定義在 上，以2為週期的周期函式，且 為偶函式，在區間[2，3]上， = ,則 =
題型講解
1 對函式單調性和奇偶性定義的理解
例4 下面四個結論：①偶函式的圖象一定與y軸相交；②奇函式的圖象一定通過原點；③偶函式的圖象關於y軸對稱；④既是奇函式又是偶函式的函式一定是f(x)=0(x∈r)，其中正確命題的個數是 （ ）
a 1 b 2 c 3 d 4
分析：偶函式的圖象關於y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤
奇函式的圖象關於原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確
若y=f(x)既是奇函式，又是偶函式，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈r，如例1中的(3)，故④錯誤，選a
說明：既奇又偶函式的充要條件是定義域關於原點對稱且函式值恆為零
2 複合函式的性質
複合函式y=f[g(x)]是由函式u=g(x)和y=f(u)構成的，因變數y通過中間變數u與自變數x建立起函式關係，函式u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集
複合函式的性質由構成它的函式性質所決定，具備如下規律：
(1)單調性規律
如果函式u=g(x)在區間〔m，n〕上是單調函式，且函式y=f(u)在區間[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是單調函式，那麼
若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則複合函式y=f[g(x)]為增函式；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函式
(2)奇偶性規律
若函式g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關於原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函式時，y=f[g(x)]是奇函式；u=g(x)，y=f(u)都是偶函式，或者一奇一偶時，y= f[g(x)]是偶函式
例6 甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例係數為b；固定部分為a元
(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函式，並指出這個函式的定義域；
(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛
分析：(1)難度不大，抓住關係式：全程運輸成本=單位時間運輸成本×全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決
故所求函式及其定義域為
但由於題設條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要
論函式的增減性來解決
由於v v ＞0，v -v ＞0，並且
又s＞0，所以 即
則當v=c時，y取最小值
說明：此題是2023年全國高考試題 由於限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大
例1 判斷下列各函式的奇偶性：
（1） ；（2） ；
（3）解：（1）由 ，得定義域為 ，關於原點不對稱，∴ 為非奇非偶函式
（2）由 得定義域為 ，
∴ ，
∵ ∴ 為偶函式
（3）當 時， ，則 ，
當 時， ，則 ，
綜上所述，對任意的 ，都有 ，∴ 為奇函式
例2 已知函式 對一切 ，都有 ，
（1）求證： 是奇函式；（2）若 ，用 表示
解：（1）顯然 的定義域是 ，它關於原點對稱 在 中，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ，∴ ，即 ， ∴ 是奇函式
（2）由 ， 及 是奇函式，
得 例3 （1）已知 是 上的奇函式，且當 時， ，
則 的解析式為
（2） （《高考 計劃》考點3「智慧訓練第4題」）已知 是偶函式， ，當 時， 為增函式，若 ，且 ，則 （ ）
例4 設 為實數，函式 ，
（1）討論 的奇偶性； （2）求 的最小值
解：（1）當 時， ，此時 為偶函式；
當 時， ， ，
∴ 此時函式 既不是奇函式也不是偶函式
（2）①當 時，函式 ，
若 ，則函式 在 上單調遞減，∴函式 在 上的最小值為 ；
若 ，函式 在 上的最小值為 ，且
②當 時，函式 ，
若 ，則函式 在 上的最小值為 ，且 ；
若 ，則函式 在 上單調遞增，∴函式 在 上的最小值
綜上，當 時，函式 的最小值是 ，當 時，函式 的最小值是 ，
當 ，函式 的最小值是
例4 已知函式 是定義在 上的周期函式，週期 ，函式 是奇函式 又知 在 上是一次函式，在 上是二次函式，且在 時函式取得最小值
①證明： ；②求 的解析式；③求 在 上的解析式
解：∵ 是以 為週期的周期函式，∴ ，
又∵ 是奇函式，∴ ，
∴ ②當 時，由題意可設 ，
由 得 ，∴ ，
∴ ③∵ 是奇函式，∴ ，
又知 在 上是一次函式，∴可設 ，而 ，
∴ ，∴當 時， ，
從而當 時， ，故 時，
∴當 時，有 ，∴
當 時， ，∴
∴ 學生練習
1 函式f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函式，則b=
2 函式f(x)=(1+2/(2x1))f(x)(x≠0)是偶函式，且f(x)不恆等於零，則f(x) ( a )
(a)是奇函式 (b)是偶函式 (c)既是奇函式，又是偶函式 (d)非奇非偶函式
3 已知函式f(x)=x2+lg(x+ ),若f(a)=m,則f(a)等於 （ a ）
(a)2a2m (b)m2a2 (c)2ma2 (d)a22m
5 若對正常數m和任意實數x,等式 成立,則下列說法正確的是 ( )
a 函式 是周期函式,最小正週期為2m
b 函式 是奇函式,但不是周期函式
c 函式 是周期函式,最小正週期為4 m
d 函式 是偶函式,但不是周期函式
(利用周期函式的定義證明 答案:c)
4 已知f(x) 是奇函式，且當x(0,1)時，f(x)=ln(1/(1+x)),那麼當x(1,0)時，f(x)= ln(1x)
5 試將函式y=2x表示為一個奇函式與一個偶函式之和
6 判斷下列函式的奇偶性：
(1)f(x)=(1cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函式）;(2)f(x)=x/(ax1)+x/2 (a>0且a≠1)(偶函式）
(3)f(x)= （偶函式）說明奇偶性的對稱條件和分段函式奇偶性的判別方法
7 已知f(x),g(x)都是奇函式，f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(a2/2,b/2),則f(x)g(x)>0的解集是
8 定義在區間(,+)的奇函式f(x)為增函式，偶函式g(x)在區間[0,+)上的圖象與f(x)的圖象重合，設a>b>0,給出下列不等式①f(b)f(a)>g(a)g(b);②f(b)f(a)g(b)g(a);④f(a)f(b) 9 (1)已知函式f(x)的週期為4，且等式f(2+x)=f(2x)對一切xr恆成立，求證f(x)為偶函式； (2)設奇函式f(x)的定義域為r，且f(x+4)=f(x),當x[4,6]時，f(x)=2x+1,求f(x)在區間[2,0]上的表示式 ((2x+4+1) (2x0)) f x 1 f x f x 1 令x x 1 所以f x 2 f x 1 f x 由 得f x 2 f x 1 令x x 1 即f x 3 f x f x 3 3 f x 3 f x 則f x 6 f x f 2012 f 6 335 2 f 2 2012 6 335餘2所以等於f 2 令x 1,y... x米為廠房一邊長，另一邊長 為126 x 米，總周長為2x 252 x 第一種方案 x 14，則修舊牆費用為x a 4，拆舊建新費用為 14 x a 2，建新費用 2x 252 x 14 a 總費用為xa 4 7a xa 2 2xa 252a x 14a 252a x 7xa 4 7a 42a 7a... lz我估計擬題目打錯了應該是這樣的吧 f 1 101 f 2 101 f 3 101 f 100 101 解 1 10 9 10 1 所以想到求f x f 1 x 的關係 f 1 x a 1 x a 1 x a 上下乘a x,a x a 1 x a 所以f 1 x a a a x a 上下除以 a ...高一數學。函式，高一數學函式怎麼學
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