1樓：匿名使用者
定義橢圓是一種圓錐曲線（也有人叫圓錐截線的）
1、平面上到兩點距離之和為定值的點的集合（該定值大於兩點間距離，一般稱為2a）（這兩個定點也稱為橢圓的焦點，焦點之間的距離叫做焦距）；
2、平面上到定點距離與到定直線間距離之比為常數的點的集合（定點不在定直線上，該常數為小於1的正數）（該定點為橢圓的焦點，該直線稱為橢圓的準線）。這兩個定義是等價的
標準方程
高中課本在平面直角座標系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標準方程中的「標準」指的是中心在原點，對稱軸為座標軸。
橢圓的標準方程有兩種，取決於焦點所在的座標軸：
1）焦點在x軸時，標準方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
2）焦點在y軸時，標準方程為：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)
其中a>0，b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸）當a>b時，焦點在x軸上，焦距為2*(a^2-b^2)^0.5，焦距與長.
短半軸的關係:b^2=a^2-c^2 ,準線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在x軸或y軸時，方程可設為mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既標準方程的統一形式。
橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的引數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ
標準形式的橢圓在x0，y0點的切線就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1
橢圓的面積公式
s=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).
或s=π(圓周率)×a×b/4(其中a,b分別是橢圓的長軸,短軸的長).
橢圓的周長公式
橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項式。
橢圓周長(l)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如
l = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸,e為離心率
橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點p到某焦點距離為pf，到對應準線距離為pl，則
e=pf/pl
橢圓的準線方程
x=±a^2/c
橢圓的離心率公式
e=c/a
橢圓的焦準距 ：橢圓的焦點與其相應準線(如焦點（c,0）與準線x=+a^2/c)的距離,數值=b^2/c
橢圓焦半徑公式 ｜pf1｜=a+ex0 ｜pf2｜=a-ex0
橢圓過右焦點的半徑r=a-ex
過左焦點的半徑r=a+ex
橢圓的通徑：過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩焦點a,b之間的距離，數值=2b^2/a
點與橢圓位置關係 點m（x0，y0） 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1
點在圓內： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
點在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
點在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
直線與橢圓位置關係
y=kx+m ①
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相切△=0
相離△＜0無交點
相交△＞0 可利用弦長公式：a(x1,y1) b(x2,y2)
|ab|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]
橢圓通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦）公式：2b^2/a
2樓：匿名使用者
設橢圓方程為x�0�5/a�0�5+y�0�5/b�0�5=1,焦點為f1（c，0），f2（-c，0)（c>0)
設a(x,y)為橢圓上一點
則af1=√[(x-c)�0�5+y�0�5]
設準線為x=f
則a到準線的距離l為│f-x│
設af1/l=e則
(x-c)�0�5+y�0�5=e�0�5（f-x)�0�5
化簡得(1-e�0�5)x�0�5-2xc+c�0�5+y�0�5-e�0�5f�0�5+2e�0�5fx=0
令2c=2e�0�5f
則f=c/e�0�5
令該點為右頂點則(c/e�0�5-a)e=a-c
當e=c/a時上式成立
故f=a�0�5/c
則方程為(1-e�0�5)x�0�5+y�0�5=e�0�5f�0�5-c�0�5
與原橢圓方程對比則
a�0�5=(e�0�5f�0�5-c�0�5)/(1-e�0�5),b�0�5=e�0�5f�0�5-c�0�5
a�0�5=(c�0�5/e�0�5-c�0�5)/(1-e�0�5),b�0�5=c�0�5/e�0�5-c�0�5
a�0�5-b�0�5=(c�0�5/e�0�5-c�0�5)e�0�5/(1-e�0�5)=c�0�5
橢圓的定義.方程,方程的推導過程,幾何性質
3樓：多蕊明雀
定義橢圓是一種圓錐曲線（也有人叫圓錐截線的）
1、平面上到兩點距離之和為定值的點的集合（該定值大於兩點間距離，一般稱為2a）（這兩個定點也稱為橢圓的焦點，焦點之間的距離叫做焦距）；
2、平面上到定點距離與到定直線間距離之比為常數的點的集合（定點不在定直線上，該常數為小於1的正數）（該定點為橢圓的焦點，該直線稱為橢圓的準線）。這兩個定義是等價的
標準方程
高中課本在平面直角座標系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標準方程中的「標準」指的是中心在原點，對稱軸為座標軸。
橢圓的標準方程有兩種，取決於焦點所在的座標軸：
1）焦點在x軸時，標準方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1
(a>b>0)
2）焦點在y軸時，標準方程為：x^2/b^2+y^2/a^2=1
(a>b>0)
其中a>0，b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸）當a>b時，焦點在x軸上，焦距為2*(a^2-b^2)^0.5，焦距與長.
短半軸的關係:b^2=a^2-c^2
,準線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在x軸或y軸時，方程可設為mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既標準方程的統一形式。
橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的引數方程是：x=acosθ
，y=bsinθ
標準形式的橢圓在x0，y0點的切線就是
：xx0/a^2+yy0/b^2=1
橢圓的面積公式
s=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).
或s=π(圓周率)×a×b/4(其中a,b分別是橢圓的長軸,短軸的長).
橢圓的周長公式
橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項式。
橢圓周長(l)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如l=
∫[0,π/2]4a
*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)
[橢圓近似周長],
其中a為橢圓長半軸,e為離心率
橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點p到某焦點距離為pf，到對應準線距離為pl，則
e=pf/pl
橢圓的準線方程
x=±a^2/c
橢圓的離心率公式
e=c/a
橢圓的焦準距
：橢圓的焦點與其相應準線(如焦點（c,0）與準線x=+a^2/c)的距離,數值=b^2/c
橢圓焦半徑公式
｜pf1｜=a+ex0
｜pf2｜=a-ex0
橢圓過右焦點的半徑r=a-ex
過左焦點的半徑r=a+ex
橢圓的通徑：過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩焦點a,b之間的距離，數值=2b^2/a
點與橢圓位置關係
點m（x0，y0）
橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1
點在圓內：
x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
點在圓上：
x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
點在圓外：
x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
直線與橢圓位置關係
y=kx+m
①x^2/a^2+y^2/b^2=1
②由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相切△=0
相離△＜0無交點
相交△＞0
可利用弦長公式：a(x1,y1)
b(x2,y2)
|ab|=d
=√(1+k^2)|x1-x2|
=√(1+k^2)[(x1+x2)^2
-4x1x2]
=√(1+1/k^2)|y1-y2|
=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2
-4y1y2]
橢圓通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦）公式：2b^2/a
關於橢圓的幾何性質
4樓：杞修平潘楊
1範圍：橢圓位於直線x
=±a，y
=±b所圍成的矩形裡
2對稱性：橢圓關於x軸、y軸及原點都是對稱的，這時座標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心。
3、頂點：因為x軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以，橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫做橢圓的頂點，即橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點。
由橢圓的對稱性可知，橢圓短軸的端點到兩個焦點的距離相等，且等於長半軸長，即|b1f
1|=|b2f
2|=|b1f
2|=|b2f
2|=a
在rt△ob2f
2中，|of
2|=|b2f
2|2－|ob2|
2即c2=
a2－b2
4離心率：c越接近於1，則c就越接近於a，從而b=越小，橢圓就越扁，反之，e越接近於0，橢圓就越接近於圓
5樓：諶寒留昶
橢圓標準方程為(x*x)/(a*a)+(y*y)/(b*b)=1(a>b>0)
a*a=b*b+c*c
離心率e=c/a
橢圓頂點(-a,0)(a,0)(0,b)(0-b)2a為長軸長
2b為短軸長
準線方程x=(a*a)/c
橢圓第二定義:橢圓上的點到焦點的距離與對應的準線的距離之比等與離心率.
焦半徑:橢圓上的點到焦點上等於a-ex...這些點和焦點都在y軸的右側..
其他的你自己推推看..
焦半徑公式是用橢圓第二定義推..
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橢圓的標準方程，橢圓的標準方程是什麼？
橢圓的標準方程共分兩種情況 當焦點在x軸時，橢圓的標準方程是 x a y b 1，a b 0 當焦點在y軸時，橢圓的標準方程是 y a x b 1，a b 0 其中a c b 推導 pf1 pf2 f1f2 p為橢圓上的點 f為焦點 不論焦點在x軸還是y軸，橢圓始終關於x y 原點對稱。頂點 焦點在...
橢圓的標準方程是什麼橢圓的標準方程中a代表什麼？
共分兩種情況 當焦點在x軸時，橢圓的標準方程是 x 2 a 2 y 2 b 2 1，a b 0 當焦點在y軸時，橢圓的標準方程是 y 2 a 2 x 2 b 2 1，a b 0 其中a 2 c 2 b 2 1 如果在一個平面內一個動點到兩個定點的距離的和等於定長，那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。2 橢圓...