1樓:匿名使用者
配方式兩根式
求解方法
編輯開平方法
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可採用直接開平方法解一元二次方程。
如果方程化成x2=p的形式,那麼可得x=±
。如果方程能化成(nx+m)2=p的形式,那麼
,進而得出方程的根。
注意:1等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個常數。
2降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。
3方法是根據平方根的意義開平方。
配方法步驟
將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步驟:
1把原方程化為一般形式;
2方程兩邊同除以二次項係數,使二次項係數為1,並把常數項移到方程右邊;
3方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方;
4把左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數;
5進一步通過直接開平方法求出方程的解,如果右邊是非負數,則方程有兩個實根;如果右邊是一個負數,則方程有一對共軛虛根。
配方法的理論依據是完全平方公式a2+b2±2ab=(a±b)2
配方法的關鍵是:先將一元二次方程的二次項係數化為1,然後在方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方。
舉例例一:用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項係數化為1:
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方:
配方:直接開平方得:∴,
.∴原方程的解為,.
求根公式法
步驟用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為:
1把方程化成一般形式
,確定a,b,c的值(注意符號);
2求出判別式
的值,判斷根的情況;
3在(注:此處△讀「德爾塔」)的前提下,把a、b、c的值代入公式
進行計算,求出方程的根。
推導過程
一元二次方程的求根公式匯出過程如下:
(為了配方,兩邊各加
)(化簡得)。
一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。
一元二次方程中的判別式:根號下b2-4ac
應該理解為「如果存在的話,兩個自乘後為的數當中任何一個」。在某些數域中,有些數值沒有平方根。
推導過程2
一元二次方程的求根公式匯出過程如下:
a的取值範圍任意,c取值範圍任意,b=(a+1)√c。從a b c 的取值來看可出1億道方程以上,與因式分解相符合。
運用韋達定律驗證:
因式分解法
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式,那麼這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解,這樣也就把原方程進行了降次,把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題(數學化歸思想)。
因式分解法解一元二次方程的一般步驟:
1移項,使方程的右邊化為零;
2將方程的左邊轉化為兩個一元一次方程的乘積;
3令每個因式分別為零
4括號中x,它們的解就都是原方程的解。
例:5x2=4x
5x2-4x=0
x(5x-4)=0
x=0,或者5x-4=0
∴x1=0,x2=4/5.
影象解法
一元二次方程
的根的幾何意義是二次函式
的影象(為一條拋物線)與x軸交點的x座標。當
時,則該函式與x軸
**法(2張)
相交(有兩個交點);當
時,則該函式與x軸相切(有且僅有一個交點);當
時則該函式與x軸相離(沒有交點)。另外一種解法是把一元二次方程
化為:的形式。
則方程的根,就是函式
和交點的x座標。
通過作圖,可以得到一元二次方程根的近似值。
計算機法
在使用計算機解一元二次方程時,和人手工計算類似,大部分情況下也是根據下面的公式去解
可以進行符號運算的程式,比如軟體mathematica,可以給出根的解析表示式,而大部分程式則只會給出數值解(但亦有部分顯示平方根及虛數)。
方程解編輯
含義(1)一元二次方程的解(根)的意義:
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根(只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根)。
(2)由代數基本定理,一元二次方程有且僅有兩個根(重根按重數計算),根的情況由判別式(
)決定。
判別式利用一元二次方程根的判別式(
)可以判斷方程的根的情況。
一元二次方程
的根與根的判別式 有如下關係:
1當時,方程有兩個不相等的實數根;
2當時,方程有兩個相等的實數根;
3當時,方程無實數根,但有2個共軛復根。
上述結論反過來也成立。
韋達定理
設一元二次方程
中,兩根x1、x2有如下關係:
數學推導
由一元二次方程求根公式知
則有:歷史發展
編輯公元前2023年左右,古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。他們是這樣描述的:已知一個數與它的倒數之和等於一個已給數,求出這個數。
他們使x1+x2=b,x1x2=1,x2-bx+1=0,再做出解答。可見,古巴比倫人已知道一元二次方程的解法,但他們當時並不接受負數,所以負根是略而不提的。
古埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程,例如:ax2=b。
大約公元前480年,中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根,但是並沒有提出通用的求解方法。《九章算術》勾股章中的第二十題,是通過求相當於x2+34x-71000=0的正根而解決的。中國數學家還在方程的研究中應用了內插法。
公元前300年左右,古希臘的歐幾里得(euclid)(約前330年~前275年)提出了用一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
古希臘的丟番圖(diophantus)(246~330)在解一元二次方程的過程中,卻只取二次方程的一個正根,即使遇到兩個都是正根的情況,他亦只取其中之一。
公元628年,印度的婆羅摩笈多(brahmagupta)(約598~約660)出版了《婆羅摩修正體系》,得到了一元二次方程x2+px+q=0的一個求根公式。
公元820年,阿拉伯的阿爾·花剌子模(al-khwārizmi) (780~810)出版了《代數學》。書中討論到方程的解法,除了給出二次方程的幾種特殊解法外,還第一次給出了一元二次方程的一般解法,承認方程有兩個根,並有無理根存在,但卻未有虛根的認識。他把方程的未知數叫做「根」,後被譯成拉丁文radix。
其中涉及到六種不同的形式,令a、b、c為正數,如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作討論,是依照丟番圖的做法。
法國的韋達(1540~1603)除推出一元方程在複數範圍內恆有解外,還給出了根與係數的關係。
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詞條**(2)
**法(2)
一元2次方程的解法
因式分解法 老師應該有講過的，一般都可以用的。比如上面的例子 2 1 1 2 x 2前的係數分解成1 2 常數項分解成 1 2，交叉相乘再相加得到的就是x前的係數啦。就可以寫成 2x 1 x 2 0 得到 x 1 2 x 2.其他很多一元二次都可以這麼解的，其實一元二次解法有很多，如 配方法，直接法...
一元一次解方程 （1）3x 5 5x
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不解方程，判斷下列關於x的一元二次方程的根的情況
1 2x 2 3x 1 0 a 2 b 3 c 1 b 4 ac 2 a 3 4 2 1 2 2 9 8 4 1 4 0 原方程有 兩個不相等 的實數根。2 a 9 b 2 c 2 b 4 ac 2 a 2 4 9 2 2 9 2 72 18 70 18 0 原方程 無解。3 3x 4x 3 0 a...