1樓：阿利葉麼緞
知識點:
正交變換不改變向量的長度.
因為a為正交矩陣,
所以有a^ta
=aa^t=e.
所以(aa,
aa)=
(aa)^t
(aa)
=a^t
a^taa=
a^t(
a^ta)a
=a^tea
=a^ta=
(a,a).
所以||aa||
=||a||
=根號(
1^2+2^2
+2^2)
=根號9=3
2樓：旗秀榮簡雪
解:由已知
a(a1,a2,a3)=(aa1,aa2,aa3)=(2a1+a2+a3,2a2,-a2+a1)=(a1,a2,a3)b
其中b=20
112-1
100由於a1,a2,a3線性無關,
所以(a1,a2,a3)^-1a(a1,a2,a3)=b|b-λe|=
2-λ011
2-λ-110
-λ=(2-λ)[-λ(2-λ)-1]
=(2-λ)(λ^2-2λ-1)
所以b的特徵值為
2,*,*
後兩個是無理數
檢查一下
aa1=2a1+a2+a3,
aa2=2a2,aa3=-a2+a1
是否正確
設a為3階正交矩陣，α=（1,-2,2）^t,則向量aα的長度為
3樓：歷史總會過去
長度^2=(aa)的轉置＊(aa)=a的轉置*a的轉置*a*aa是正交矩陣，所以,a的轉置*a=e.
長度^2=a的轉置*a=1+4+4=9
所以長度=3
設三階實對稱矩陣a，求正交矩陣q，使得q^-1aq為對角矩陣（1）矩陣a的特徵值為
4樓：一個人郭芮
設矩陣a的特徵值為λ那麼
|a-λe|=
5-λ -7 -7
-7 5-λ -7
-7 -7 5-λ 第2行減去第1行=5-λ -7 -7
-12+λ 12-λ 0
-7 -7 5-λ 第1列加上第2列=-2-λ -7 -7
0 12-λ 0
-14 -7 5-λ 按第2行=(12-λ)(λ^2-3λ-108)=(λ-12)(λ-12)(λ+9)=0
解得λ=12，12，-9
當λ=12時，
a-12e=
-7 -7 -7
-7 -7 -7
-7 -7 -7 第2行減去第1行，第3行減去第1行，第1行除以-7～1 1 1
0 0 0
0 0 0
得到特徵向量(1,-1,0)^t和(0,1,-1)^t再將其正交化為
(1,-1,0)^t和
(0,1,-1)^t+ 1/2 *(1,-1,0)^t=(1/2,1/2,-1)
當λ= -9時，
a+9e=
14 -7 -7
-7 14 -7
-7 -7 14 第3行加上第2行，第3行加上第1行，第1行加上第2行×2
～0 21 -21
-7 14 -7
0 0 0 第1行除以21，第2行除以-7，交換第1和第2行～1 -2 1
0 1 -1
0 0 0 第1行加上第2行×2
～1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特徵向量(1,1,1)^t
所以正交矩陣q為
1 1/2 1
-1 1/2 1
0 -1 1
而對角矩陣為q^-1aq則為
1212-9
設a為n階正交矩陣，試證：（1）若|a|=-1，則|e+a|=0（2）若n為奇數，且|a|=1，則|e-a|=0；
5樓：
a為n階正交矩陣 ,a'a = e
（1）若|a|=-1
|e+a|=|a'a+a|=|a'(a+e)|=|a'|*|a+e|=|a||a+e|= -|a+e| = 0
（2）若n為奇數，且|a|=1
|e-a|=|aa'-a|=|(a-e)a'|=|a'||a-e|=|a||a-e|=|a-e|=|-1*(e-a)|=(-1)^n|e-a|= -|e-a|=0
線性代數問題 請大家幫忙 設a為n維列向量，且a∧ta=1，矩陣a=e-2aa∧t,證明a是正交
6樓：v段輝長
a^ta= (e-2aa^t)^t(e-2aa^t)= (e-2aa^t)(e-2aa^t)
= e-2aa^t-2aa^t+4aa^taa^t= e-4aa^t + 4 a(a^ta)a^t= e - 4aa^t + 4aa^t
= e所以a是正交矩陣.
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試證明:設a為n階實對稱矩陣,且a^2=a,則存在正交矩陣t,使得t^-1at=diag(er,0),其中r為秩，er為r階單位矩陣
7樓：drar_迪麗熱巴
^證明：
a為實對稱矩陣，則幣可以對角化，
令aa=xa則
a^2=a
x^2a^2=xa
x(x-1)a=0
a≠0，x=0,1
則a矩陣的特徵值只能為0,1
所以r（a）=r（λ）=特徵值非0的個數
所以必存在可逆矩陣t使得
t^(-1)at=diag（er，0）
基本性質
1.對於任何方形矩陣x，x+xt是對稱矩陣。
2.a為方形矩陣是a為對稱矩陣的必要條件。
3.對角矩陣都是對稱矩陣。
4.兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，當且僅當兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特徵空間相同。
8樓：匿名使用者
∵a是是對稱的
∴存在正交矩陣t，使得t^-1at是對角型的，設對角線上是d1,d2,...dn
則由a^2=a有di^2=di，1<=i<=n所以di=0或1
整理一下就是（er,0）
設a為n階正交矩陣；a,b為兩個n維的向量，求證1.（aa,ab）=(a,b) 2. ||aa||=||a||
9樓：匿名使用者
(aa,ab) = (aa)^t(ab) = a^ta^tab = a^tb = (a,b)
由上知 (aa,aa) = (a,a)
所以 ||aa|| = √(aa,aa) = √(a,a) = ||a||.
正交矩陣是其逆等於其轉置的矩陣，為什麼
10樓：
若矩陣為方陣且其逆矩陣存在時，矩陣的逆的轉置 等於 矩陣的轉置的逆。
注意;只有方形矩陣才有矩陣的逆，而非方形的叫做「矩陣的偽逆」，此處只論方陣。其次只有當方陣的行列式不為0時，其逆矩陣才存在，故這裡只討論其行列式不為0的方陣（只要有任意一行或一列全文0的方陣，其行列式值為0，但不僅限於此）.
矩陣a的轉置矩陣a^t等於a的逆矩陣a^-1
證明：那麼aa^t=aa^-1=e
設a=(α1,α2,α3,...,αn)^t,其中αi為n維列向量,
那麼a^t=(α1,α2,α3,...,αn),
α1^tα1,α1^tα2,α1^tα3,...,α1^tαn
α2^tα1,α2^tα2,α2^tα3,...,α2^tαn
那麼aa^t=( ...............)=e,
αn^tα1,αn^tα2,αn^tα3,...,αn^tαn
那麼||αi^tαi||=1,||αi^tαj||,i≠j,
也就是說a的每一個列向量的長度等於1並且每兩個行向量相互正交
同理設a=(α1,α2,α3,...,αn)時用a^ta=e可以證明a的每一個行向量的長度等於1並且每兩個行向量相互正交。
故證明成立。
正交矩陣定義是a的轉置乘a等於單位陣e，即at*a=e，等式兩邊同乘a的逆，就可以得到a的轉置等於a的逆。
正交矩陣是滿足 a^t*a = e （e 為單位矩陣）的矩陣，
那麼 a^t 也滿足上式，因此也是正交矩陣。
這是由於 (a^t)^t*a^t = (a*a^t)^t = e^t = e 。
上式用到 (ab)^t = b^t*a^t 。
如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣 。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。
11樓：翁雁黎緞
認真看課本，線性代數我還沒看呢，我都知道...a可逆，把正交矩陣的定義式兩邊同時左乘a的逆矩陣就可以了
已知三階矩陣A的特徵值為11,21,32,設矩
設 是a的任du意特徵值,則由b a3 5a2,知zhib的特徵值為 dao 3 5 2 由三階矩回陣a的特徵值為 1 1,答 2 1,3 2,得 b的特徵值為 4,6,12 detb 4?6 12 288 設三階矩陣a的特徵值為 1 1,2 1,3 2,矩陣b 2a2 2a 3e,求矩陣b的特徵值...
設A為n階方陣，x和y為n維列向量。證明 若Ax Ay且x不等於y，則A必為非奇異矩陣
a x y 0，於是非零向量x y是方程ax 0的一個非零解。書上有定理，此時a必非奇異 ax ay a x y 0 r a r x y n r x y 1 r a n 1 a 0 a必為奇異矩陣 設a為mxn矩陣,r a n,證明 若ax ay，則x y 因為 ax ay 所以 a x y 0 所...
設三階矩陣A的特徵值為1，1，2，求A以及A
答案為2 4 0。解題過程如下 1.a的行列式等於a的全部特徵值之積 所以 a 1 1 2 2 2.若a是可逆矩陣a的特徵值,則 a a 是a 的特徵值 所以a 的特徵值為 2,2,1 所以 a 2 2 1 4.注 當然也可用伴隨矩陣的行列式性質 a a n 1 a 2 2 2 4.3.若a是可逆矩...