定積分表示的和式極限,將和式的極限表示為定積分

2021-09-01 01:53:22 字數 3046 閱讀 9711

1樓:瑞春楓

定積分表示的和式極限:原式=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n設f(x)=x^p

在區間[0,1]做等長分割t,得到n個小區間:

[0,1/n],[1/n,2/n]…[(i-1)/n,i/n]…[(n-1)/n,1]

在每個區間中取ξi=i/n。

黎曼積分

定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說,就是把直角座標系上的函式的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形,然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來,所得到的就是這個函式的圖象在區間[a,b]的面積。

我們可以看到,定積分的本質是把圖象無限細分,再累加起來,而積分的本質是求一個導函式的原函式。

2樓:匿名使用者

因為對分划來說,只是令分點個數n趨於無窮,並不能保證每個小子區間的長度是趨於0的(這是定積分的定義要求的),比如你把【a b】先用中點分為兩端,以後做分劃時只對右半區間做分劃而左半區間不動,這時分點個數n趨於無窮,但顯然不滿足定積分定義要求。

將和式的極限表示為定積分

3樓:這是沙茶君

原式=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n設f(x)=x^p

在區間[0,1]做等長分割t,得到n個小區間:

[0,1/n],[1/n,2/n]…[(i-1)/n,i/n]…[(n-1)/n,1]

在每個區間中取ξi=i/n

得到黎曼和

∑[i=1→n]f(ξi)δxi

=∑[i=1→n](i/n)^p*1/n

所以原式

=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n=lim[n→∞]∑[i=1→n]f(ξi)δxi=∫[0→1]x^pdx

4樓:逆流而上的鳥

原式=lim(n→∞)[(1^p+2^p+...+n^p)/n^p]*(1/n)

=lim(n→∞)[1^p/n^p+2^p/n^p+...+n^p/n^p]*(1/n)

=lim(n→∞)[(1/n)^p+(2/n)^p+..+(n/n)^p]*(1/n)

=(1/n)*∑(i=1,n)(i/n)^p=∫(0,1)x^pdx

=1/(p+1)x^(p+1) |(0,1)=1/(p+1)

關於定積分中的積分和式極限

5樓:匿名使用者

定積分是微積分的重要概念。德國數學家黎曼首先給予嚴格表述,故又稱“黎曼積分”。

定積分的本質是和式的極限。將函式定義域上區間 [a,b] 分成多個小區間,將函式在每個小區間上任一點的函式值 f(ξi) 與小區間寬度 δxi 的乘積求和,在小區間寬度趨於零時,如果該和式的極限存在,則稱此極限值為函式在此區間的定積分。在幾何意義方面表現為介於 x 軸、函式圖形及直線x=a、x=b 之間各部分曲邊梯形面積的代數和。

從定積分的定義可以看出,它是建立在極限概念基礎上的。有限區間 [a,b] 被細分成 n 個區間,區間寬度 δx 趨於 0 時,區間數量 n 趨於 ∞,和式極限趨於一個定值。無窮細分(δx→0)似乎不可能,無窮多個值求和 (i=1→∞)∑f(ξi)δxi 似乎不可能,但是藉助極限概念變成可能,體現了由分到合、由無限到有限轉化的思想。

definite integral 譯為“定積分”一詞,正是體現了這種思想。先細分,後求積並累加,最後得到定值。用字如此精煉的第一個譯者,必是領會其思想之精髓。

定積分表示和式極限此題怎麼破

利用定積分求和式極限的問題 50

6樓:鐵打的泥人

你沒理解和的極限和積分的關係轉化

積分是把區間化為無限個小長度,然後函式值在該點數值與單位小區間長度相乘,極限求和,近似函式在該區間與x軸圍成的面積。

問題1:函式區間從pi/n到npi/n,n趨於無窮,那麼變數x從0到pi

問題2:0到pi劃分為n個長度區間,每個區間長度為pi/n。為了把上式變換為符合積分要求形式,需要乘以pi,則變換過後有個1/pi

請教各位學霸,在高等數學定積分中和式極限是什麼意思?多謝

7樓:竹間走召

是定積分的定義中,積分和的極限lim∑嗎?

這個一般數學專業微積分中有詳細論述,仍舊是ε-δ語言,稍微比通常數列極限,函式極限,數列和式極限複雜一點。

用定積分求和式極限的一個問題

8樓:傅邃出好

無法理解樓主思路,特別是你第二個問題。

我嘗試解釋一下看樓主能否理解。

把那條極限求和的式子看成無數個矩形求和

每個矩形的長都是

π/(2n)

高則是2cos

[iπ/(2n)

-π/(4n)]

當n趨於正無窮的時候,這些矩形面積之和也將趨近於cosx

在[0,π/2]之下的面積。

和樓主給的定積分定義不太相同的是,

這裡第i

個矩形的高取的值是

2cosx

在第i個區間[(i-1)π/(2n),

iπ/(2n)]

的中點的值,

即2cos

[iπ/(2n)

-π/(4n)]

使用定積分定義的時候,小區間的長度也就是矩形的長究竟是π/(2n)還是

π/n都沒有問題,關鍵是矩形的高要對應得上。

這道題中函式自變數x

=iπ/(2n)

-π/(4n)

,i每增加1,x增加

π/(2n)。所以很自然地把矩形的長取為π/(2n)。

若非要像樓主所想的把區間長度取為π/n

,則第i個矩形的高取的值,是cos(x/2)在第i個區間[(i-1)π/n,

iπ/n]

的中點的值

即cos

[iπ/(2n)

-π/(4n)]。

不過這樣的話積分的區間就變成[0,π]了。

不管怎麼理解那條求和的式子

結果都是一樣的。

將和式的極限表示為定積分

原式 lim n i 1 n i n p 1 n設f x x p 在區間 0,1 做等長分割t,得到n個小區間 0,1 n 1 n,2 n i 1 n,i n n 1 n,1 在每個區間中取 i i n 得到黎曼和 i 1 n f i xi i 1 n i n p 1 n 所以原式 lim n i ...

定積分求和式求極限謝謝,為什麼定積分等於求和再取極限

你對比上面列舉的bai定du積分 的定義,1zhin 和 0是等 dao價的 由於是n等分 2 回xi 1 n xi表示第i個區間的長度答 3f x x,i取第i個區間 i 1 n,i n 的右端點i n f i f i n 為什麼定積分等於求和再取極限 呵呵,我就隨便說兩句吧,希望對你有所幫助,通...

大一高等數學利用定積分的概念,求極限。

原式 sum 1 n 2 根號 copy kn 把其中一個n除到根號內部去得到 sum 1 n 根號 k n 對比定積分定義,如果用dx表示1 n,k n表示kdx 則這個式子恰好是 函式f x 根號 x 在 0,1 上的定積分所以sf x dx 2 3 根號 x 3 0,1 2 3 大一高等數學求...