1樓:匿名使用者
平方平均數≥算數平均數≥幾何平均數≥調和平均數√[(a2+b2)/2]≥(a+b)/2≥√(ab)≥2/(1/a+1/b)
幾個重要平均數的大小比較
2樓:歐周李
^調和平均數來:hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均自
數:baign=(a1a2...an)^du(1/n)算術zhi平均數:
an=(a1+a2+...+an)/n平方平均數:qn=√ [(a1^2+a2^2+...
+an^2)/n]
這四種平均數滿足dao hn ≤ gn ≤ an ≤ qn
調和平均數<=幾何平均數<=算術平均數<=平方平均數,怎樣證明?
3樓:藥郎小跟班
^調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數,結論如下:
1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0);
證明過程:
設a、b均為正數,且a>b.
1、利用基礎的幾何和算術並且反向構建方程式可得:(a - b)^2 >= 0,
即(a + b)^2 - 4ab >= 0,故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
經過變形可得:√(ab)=<(a+b)/2,
即:幾何平均數≤算術平均數。
2、利用上式的結論,可得:1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
即:調和平均數≤幾何平均數。
3、利用算式平方:因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0,
故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.
即:算術平均數≤平方平均數。
整理以上結果可得: 1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0),即調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數。
4樓:匿名使用者
二元的易證,多元的就有點麻煩了。下面給二元的證明,多元的找本競賽書看吧。
以下設a、b均為正數(這是為了避免分母為0的情況,否則對一些式子非負數也成立)。
基礎的,幾何和算術:因(a - b)^2 >= 0,即(a + b)^2 - 4ab >= 0,故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
調和與幾何:利用上式,有1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
算術與平方:因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0,故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.
n元的情況,幾何與算術可以用歸納法來證,有一點小技巧;也可以做為其他一些不等式的推論,如排序不等式、cauchy不等式,jensen不等式等。另幾個也是類似的。其中jensen不等式是關於凸函式性質的,證明要用到高等數學,不過比較廣泛,上面的幾個不等式好像都可以用它推出來。
要看初等的證明方法還是看競賽書吧。
5樓:匿名使用者
^證明過程:
設a、b均為正數。
基礎的,幾何和算術:
因(a - b)^2 >= 0,即(a + b)^2 - 4ab >= 0,故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
調和與幾何:利用上式,有1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
算術與平方:因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0,故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.
平均數是指在一組資料中所有資料之和再除以資料的個數。平均數是表示一組資料集中趨勢的量數,它是反映資料集中趨勢的一項指標。解答平均數應用題的關鍵在於確定「總數量」以及和總數量對應的總份數。
在統計工作中,平均數(均值)和標準差是描述資料資料集中趨勢和離散程度的兩個最重要的測度值。
6樓:匿名使用者
很簡單,平方後做差即可
基本不等式的推廣,幾何平均數算術平均數調和平均數等各種平均數的大小關係,從abc三個數推廣到n個數
7樓:一中老神棍
^1、調和平均數:hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、幾何平均數:
gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算術平均數:an=(a1+a2+...
+an)/n4、平方平均數:qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn給分
8樓:石中空
^設a(1), a(2), ..., a(n)為正數,記m(x) = ((a(1)^x + a(2)^x + ... + a(n)^x)/n) ^ (1/x),x≠0,則
則m(1)為算術平均, m(-1)為調和平均,而且可以證明當x→0時,m(x)→√(a(1)a(2)...a(n)),因此可以定義m(0)為幾何平均。
對於任意實數x 調和平均≤幾何平均≤算術平均≤平方平均≤三次方平均≤... 9樓:匿名使用者 平方平均數≥算術平均數≥幾何平均數≥調和平均數 a b c d 抄 n n就是前面那個括號裡襲邊有幾個項就除以幾就ok 平均數舉個例子吧 小明第一次考試考了95分,第二次考了 85分,求平均數 解 95 85 2 180 2 90.答 小明兩次考試平均分為90分 這樣就比較好理解了 平均數 總數 數量 平均數 總數 份數 即平均數 x1 x2 x... 解 因為這幾個數的平均數是4,一共有8位數.所以4乘於8 32,除x外把其餘7位數加得26,x 32 26 6,m x n都 6 4 8 32,32 2 6 8 9 0 4 3 6,x 6,後面自己算,這麼簡單的題都不會,肯定上課不聽 已知一組資料為2 3 4 5 5 5 6 7 8,其中平均數,中... 第三個數是 抄5.75。解答過程襲如下 1 由已知條件 三個數的平均數是4,可以得出三個數的和是4 3 12。2 第一個數是2.5,第二個數是第一個數的1.5倍,可以得出 第二個數 2.5 1.5 3.75。3 知道第一個數,第二個數和它們的和,求第三個數是 12 3.75 2.5 5.75。三個數...求平均數的基本數量關係式是,求平均數問題的基本數量關係是
已知一組數X3的平均數是4,中
數的平均數是4,數是25,數是數的15倍,數是