1樓:匿名使用者
首先,根據奇偶對稱性直接可知原式 = 0。因為積分割槽域ω關於xoy平面對稱,專而被積函式是z的奇屬函式,由「奇函式在對稱區間的積分為0」可知,原式=0。雖然另一位回答的網友的答案也是0,但是其過程完全錯誤。
原因在於這是體積分,只有在積分割槽域表面才有x^2+y^2+z^2=1,積分割槽域內部此式並不成立,所以不能用x^2+y^2+z^2=1代入計算。本題可以參考下圖:
如何利用球面座標計算下列三重積分?
2樓:匿名使用者
答:32πa5/15
方法一:標準球座標
x2+y2+(z-a)2 = a2
x2+y2+z2 = 2az
x = r sinφ
62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333365633836 cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dv = r2sinφ drdφdθ
ω方程變為:r = 2acosφ
由於整個球面在xoy面上,所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(ω) (x2+y2+z2) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r2 * r2 dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a5cos5φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a5)(- 1)∫(0,π/2) cos5φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a5)(- 1)(1/6)[ cos6φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a5)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa5/15
方法二:廣義球座標
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dv = r2sinφ drdφdθ
ω方程變為:r = a
∫_(ω) (x2+y2+z2) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r2sin2φ+(a+rcosφ)2) * r2 dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r2 + (2arcosφ + r2cos2φ)) * r2 dr
後面2arcosφ* r2部分的積分應該等於0
剩下r2 * r2就好算了
方法三:平移,其實跟廣義極座標一樣原理
x = u
y = v
z = a + w
dv = du***w
ω方程變為:u2+v2+w2 = a2
∫_(ω) (x2+y2+z2) dv
= ∫_(ω') (u2+v2+(a+w)2) du***w
= ∫_(ω') (u2+v2+w2+a2) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w
後面那個利用對稱性得結果為0,前面的可直接用球座標
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r2+a2) * r2 dr
= (2π)(2)(8a5/15)
= 32πa5/15
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