有理數和無理數定義的區別是什麼

2021-08-04 10:33:15 字數 5008 閱讀 2218

1樓:更上百層樓

有理數和無理數定義有3點不同:

一、兩者的含義不同:

1、有理數的含義:數學中,有理數是一個整數a和一個正整數b的比,例如3/8,通常為a/b,0也是有理數。

2、無理數的含義:在數學中,無理數是所有不是有理數字的實數,後者是由整數的比率(或分數)構成的數字。

二、兩者的特徵不同:

1、有理數的特徵:有理數的小數部分是有限或為無限迴圈的數。

2、無理數的特徵:無理數的小數部分是無限不迴圈的數。

三、兩者的實質不同:

1、有理數的實質:有理數為整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數,負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

由於任何一個整數或分數都可以化為十進位制迴圈小數,反之,每一個十進位制迴圈小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進位制迴圈小數。

2、無理數的實質:無理數是指實數範圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說,無理數就是10進位制下的無限不迴圈小數,如圓周率、根號2等。

2樓:匿名使用者

整數和分數統稱為有理數,任何一個有理數都可以寫成分數m/n的形式,m,n都是整數,且n≠0,m,n互質。

無限不迴圈小數和開根開不盡的數叫無理數 ,比如π,3.1415926535897932384626......

而有理數恰恰與它相反,整數和分數統稱為有理數

包括整數和通常所說的分數,此分數亦可表示為有限小數或無限迴圈小數。

這一定義在數的十進位制和其他進位制(如二進位制)下都適用。

數學上,有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比(ratio),通常寫作 a/b,故又稱作分數。希臘文稱為 λογο?? ,原意為“成比例的數”(rational number),但中文翻譯不恰當,逐漸變成“有道理的數”。

不是有理數的實數遂稱為無理數。

所有有理數的集合表示為 q,有理數的小數部分有限或為迴圈。

有理數分為整數和分數

整數又分為正整數、負整數和0

分數又分為正分數、負分數

正整數和0又被稱為自然數

如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理數。

全體有理數構成一個集合,即有理數集,用粗體字母q表示,較現代的一些數學書則用空心字母q表示。

有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。

有理數集是一個域,即在其中可進行四則運算(0作除數除外),而且對於這些運算,以下的運算律成立(a、b、c等都表示任意的有理數):

①加法的交換律 a+b=b+a;

②加法的結合律 a+(b+c)=(a+b)+c;

③存在數0,使 0+a=a+0=a;

④對任意有理數a,存在一個加法逆元,記作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;

⑤乘法的交換律 ab=ba;

⑥乘法的結合律 a(bc)=(ab)c;

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;

⑧存在乘法的單位元1≠0,使得對任意有理數a,1a=a1=a;

⑨對於不為0的有理數a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a=0 文字解釋:一個數乘0還於0。

此外,有理數是一個序域,即在其上存在一個次序關係≤。

有理數還是一個阿基米德域,即對有理數a和b,a≥0,b>0,必可找到一個自然數n,使nb>a。由此不難推知,不存在最大的有理數。

值得一提的是有理數的名稱。“有理數”這一名稱不免叫人費解,有理數並不比別的數更“有道理”。事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤。

有理數一詞是從西方傳來,在英語中是rational number,而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了“有理數”。但是,這個詞**於古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(這裡的詞根是英語中的,希臘語意義與之相同)。

所以這個詞的意義也很顯豁,就是整數的“比”。與之相對,“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而並非沒有道理。

有理數加減混合運算

1.理數加減統一成加法的意義:

對於加減混合運算中的減法,我們可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法,這樣就可將混合運算統一為加法運算,統一後的式子是幾個正數或負數的和的形式,我們把這樣的式子叫做代數和。

2.有理數加減混合運算的方法和步驟:

(1)運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。

(2)運用加法法則,加法交換律,加法結合律簡便運算。

有理數範圍內已有的絕對值,相反數等概念,在實數範圍內有同樣的意義。

一般情況下,有理數是這樣分類的:

整數、分數;正數、負數和零;負有理數,非負有理數

整數和分數統稱有理數,有理數可以用a/b的形式表達,其中a、b都是整數,且互質。我們日常經常使用有理數的。比如多少錢,多少斤等。

凡是不能用a/b形式表達的實數就是無理數,又叫無限不迴圈小數

一個困難的問題

有理數的邊界在**?

根據定義,無限迴圈小數和有限小數(整數可認為是小數點後是0的小數),統稱為有理數,無限不迴圈小數是無理數。

但人類不可能寫出一個位數最多的有理數,對全地球人類,或比地球人更智慧的生物來說是有理數的數,對每個地球人來說,可能是無法知道它是有理數還是無理數了。因此有理數和無理數的邊界,竟然緊靠無理數,任何兩個十分接近的無理數中間,都可以加入無窮多的有理數,反之也成立。

竟然沒有人知道有理數的邊界,或者說有理數的邊界是無限接近無理數的。

定理:位數最多的非無限迴圈有理數是不可能被寫出的,儘管它的定義是有有限位,但它是無限趨近於無理數的,以致於沒有手段進行判斷。

證明:假設位數最多的非無限迴圈有理數被寫出,我們在這個數的最後再加一位,這個數還是有限位有理數,但位數比已寫出有理數多一位,證明原來寫出的不是位數最多的非無限迴圈有理數。所以位數最多的非無限迴圈有理數是不可能被寫出的。

關於無理數與有理數無法比較的說明:

對於定義無限不迴圈小數是無理數,無理數之外為有理數。則無理數很難被證實,而每一個無理數,無論認識多少位,都有有理數對應,而位數較短的有理數,都沒有無理數對應,因此有理數多。

對於定義為有限位小數和無限迴圈小數為有理數,無限不迴圈數為無理數。對於很多位數多的無法分辨的數沒有明確歸屬,而認為大於特定有限位的數都是無理數的人,才能證明無理數比有理數多,但那明顯是將很多很多有理數歸為無理數的結果。在這個定義下,由於界限不明,無法進行比較,除非有人能有力的證明。

無限不迴圈小數不是有理數,如:

0.10100100010000100000......

0.1200000012000012000000120000......

π等是無限不迴圈小數,所以不是有理數

迴圈小數化分數的方法

0.777777......

有一個數迴圈,分母是一個9,迴圈數是7.化分數後是7/9

0.535353......

有兩個數迴圈,分母是兩個9,迴圈數是53.化分數後是53/99

我們可以在數軸上表示有理數.注意畫數軸的三要素(原點,正方向,單位長度).

3樓:匿名使用者

無理數與有理數的區別:

1、把有理數和無理數都寫成小數形式時,有理數能寫成有限小數和無限迴圈小數,

比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數只能寫成無限不迴圈小數,

比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不迴圈小數.

2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比;而無理數不能。根據這一點,有人建議給無理數摘掉“無理”的帽子,把有理數改叫為“比數”,把無理數改叫為“非比數”。本來嘛,無理數並不是不講道理,只是人們最初對它不太瞭解罷了。

4樓:孤翼之淚

有理數是這麼定義的:

q=也就是說,集合q中的所有元素都是有理數,其中m,n是互素的整數。

無理數可以通過有理數定義(dedekind分劃)

定義分劃:設a,a'是有理數的集合,稱a|a'為一個有理數的分劃,如果

1)a與a'中至少有一個元素為有理數(不空);

2)任意a∈q,a∈a或a∈a'(不漏);

3)任意a∈a,a'∈a',有a

有理數分劃有三種型別:

(1)a中無最大數,a'中有最小數r;

(2)a中有最大數r,a'中無最小數;

(3)a中無最大數,a'中無最小數;

[附註]不可能會出現a中有最大數r,a'中有最小數r'

證明:由分劃定義第三條不亂性知r

“約定”把有理數分劃的(1)(2)合併,我們稱此時分劃a、a'的界r為有理數,(3)的界不是有理數,我們稱這種分劃為一個無理數。

上面所講的是專業知識上有理數無理數的定義,對於大部分人來說,或許更為容易理解和接受的這種觀點:任何有理數都可以表示為有盡小數和無盡不迴圈小數。但是不能簡單地像這樣定義無理數,不過至於常見的無理數,除了不可開方的根式,還有e(自然常數),π(圓周率)等。

5樓:匿名使用者

有理數:有理數分為正有理數,負有理數,0。有理數都可以化為小數,其中整數可以看作小數點後面是零的小數,只要是無限迴圈小數的都叫有理數。

如:3.12121212121212……

無理數:無限不迴圈小數。無理數應滿足三個條件:①是小數;②是無限小數;③不迴圈.圓周率π=3.141592653……

複數:形如a+bi的數。式中a,b為實數,i是一個滿足i2=-1的數,因為任何實數的平方不等於-1,所以i不是實數,而是實數以外的新的數。

在複數a+bi中,a稱為複數的實部,b稱為複數的虛部,i稱為虛數單位。當虛部等於零時,這個複數就是實數;當虛部不等於零時,這個複數稱為虛數,虛數的實部如果等於零,則稱為純虛數。由上可知,複數集包含了實數集,因而是實數集的擴張。

實數:有理數和無理數統稱為實數

整數:整數包括正整數,負整數和0.

如正整數:1、2、3......

負整數:-1、-2、-3......

自然數:自然數,就是人們數數時產生的數(如“有3個蘋果”),所以用來表示物體個數的數叫做自然數。一個物體也沒有,當然可以用“0”來表示,所以“0”也是自然數。

無理數的定義無理數和有理數的定義

無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數,即無限不迴圈小數。如圓周率 2的平方根等。實數 real munber 分為有理數和無理數 irrational number 有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比,通常寫作 a b。包括整數和通常所說的分數,此分數亦可表示為有限小數或無限迴...

無理數的意義是什麼,有理數和無理數有什麼意義

無理數,即非有理數之實數,不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點之後的數字有無限多個,並且不會迴圈。常見的無理數有大部分的平方根 和e 其中後兩者同時為超越數 等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派 希伯斯發現。他以幾何方法證明無法用整數及分數表示。而畢...

“有理數無理數實數自然數質數”概念

1 有理數 是一個整數a和一個非零整數b的比,例如3 8,通則為a b,故又稱作分數。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合,整數亦可看做是分母為一的分數。有理數的小數部分有限或為迴圈。2 無理數 可以理解為無限不迴圈小數,是實數中除了有理數之外的數 3 實數 是有理數和無理數的總稱。4 自然數 是...